Konu anlatımı
Bölenin derecesi büyüdükçe kalanın derecesi de büyüyebilir. Bu alt başlıkta üçüncü dereceden bölende kalanın biçimini, bölenin üç köküyle denklem kurmayı, bilinen bir kalanı kullanarak işlemi kısaltmayı ve bölen çarpanlarına ayrılmadığında x³ yerine değer yazmayı göreceksin.
Kalan en çok ikinci derecedendir
Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olduğu için üçüncü dereceden bölende kalan K(x) = ax² + bx + c biçiminde aranır. Bölen (x − 1)(x − 2)(x − 3) ve P(1) = 2, P(2) = 3, P(3) = 6 ise bölenin kökleri özdeşlikte yerine yazılır: a + b + c = 2, 4a + 2b + c = 3 ve 9a + 3b + c = 6. İlk iki eşitliğin farkı 3a + b = 1, son ikisinin farkı 5a + b = 3 verir. Buradan a = 1, b = −2, c = 3 ve K(x) = x² − 2x + 3 bulunur.
Kısa yol: bilinen kalanı taşımak
P(x)'in (x − a)(x − b) ile bölümünden kalan R(x) biliniyorsa (x − a)(x − b)(x − c) ile bölümünden kalan K(x) = t·(x − a)(x − b) + R(x) biçimindedir. Nedeni şudur: K(x) ile P(x) arasındaki fark büyük bölenin katıdır, dolayısıyla (x − a)(x − b) çarpımının da katıdır; yani K(x)'in bu ikinci dereceden bölene göre kalanı da R(x) olmalıdır. Geriye tek bilinmeyen kalır ve t sayısı K(c) = P(c) eşitliğinden bulunur.
Aynı veriyle deneyelim: P(1) = 2 ve P(2) = 3 olduğundan (x − 1)(x − 2) ile bölümden kalan x + 1'dir. K(x) = t·(x − 1)(x − 2) + x + 1 yazılır; K(3) = 2t + 4 = 6 eşitliğinden t = 1 ve K(x) = x² − 2x + 3 bulunur. Üç bilinmeyenli sistem tek bilinmeyene inmiştir.
Bölen çarpanlarına ayrılmıyorsa
x³ − 2 gibi bir bölende özdeşlikteki bölen sıfır alınır, yani x³ yerine 2 yazılır. P(x) = x⁷ + x⁴ + 1 için x⁷ = (x³)²·x = 4x ve x⁴ = x³·x = 2x olur; kalan 4x + 2x + 1 = 6x + 1 bulunur. Bu işlemde yalnızca x³ içeren kuvvetler indirgenir, x ve x² olduğu gibi kalır. Bölen x³ − x ise x³ yerine x yazılır; bu bölen x(x − 1)(x + 1) biçiminde çarpanlarına da ayrıldığı için sonuç köklerle sınanabilir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. P(x) polinomunun x² − x − 2 ile bölümünden kalan 3x + 2, x − 1 ile bölümünden kalan −1'dir. P(x) polinomunun (x² − x − 2)(x − 1) ile bölümünden kalan K(x) olduğuna göre K(3) kaçtır?
Çözüm. K(x)'in x² − x − 2 ile bölümünden kalan da 3x + 2 olmalıdır; K(x) = t·(x² − x − 2) + 3x + 2 yazılır. x = 1 için K(1) = P(1) = −1'dir: −2t + 5 = −1 eşitliğinden t = 3 bulunur. K(x) = 3(x² − x − 2) + 3x + 2 = 3x² − 4 ve K(3) = 27 − 4 = 23 olur. Kontrol: K(2) = 8 ve K(−1) = −1 değerleri 3x + 2 ile uyumludur.
Örnek 2. P(x) = x⁵ + 2x⁴ − x² + 3 polinomunun x³ − x ile bölümünden kalan nedir?
Çözüm. Bölen sıfır alınırsa x³ = x olur. x⁵ = x³·x² = x·x² = x³ = x ve 2x⁴ = 2·x³·x = 2x² bulunur. Kalan x + 2x² − x² + 3 = x² + x + 3'tür. Kontrol için bölenin kökleri 0, 1 ve −1 kullanılır: P(0) = 3, P(1) = 5 ve P(−1) = 3 değerleri x² + x + 3 polinomunun aynı noktalardaki değerleriyle eşittir.
Sık yapılan hatalar
- Üçüncü dereceden bölende kalanı birinci dereceden aramak.
- Kısa yolda t·(x − a)(x − b) terimini unutup bilinen kalanı doğrudan yazmak.
- x³ yerine değer yazarken x⁴ ya da x⁵ gibi kuvvetleri eksik indirgemek.
- Üçüncü dereceden bölende kalan ax² + bx + c biçimindedir.
- Bilinen ikinci dereceden kalan R(x) ise yeni kalan t·(x − a)(x − b) + R(x) biçimindedir.
- Bölen x³ − k ise x³ yerine k yazılır.