Konu anlatımı
Bölme özdeşliği P(x) = B(x)·Q(x) + K(x), polinom sorularının çoğunda bölme yapmadan sonuca gitmeni sağlar. Bu alt başlıkta özdeşlikte x yerine sayı yazmayı, iki polinomun toplamının ve çarpımının kalanını ve x·P(x) ya da P(x + 1) gibi polinomlarda kalanı bulmayı göreceksin.
Özdeşlik her x için doğrudur
Bölme özdeşliğinde x yerine hangi sayıyı yazarsan yaz eşitlik bozulmaz. Bölenin bir kökünü yazdığında B(x)·Q(x) çarpımı sıfırlanır ve P ile K aynı değeri alır; bu, kalan teoreminin genel hâlidir. Kök olmayan bir sayı yazdığında ise bölümün o sayıdaki değeri işe karışır.
P(x) = (x² − 3x)·Q(x) + 2x − 1 eşitliğinde x = 0 ve x = 3 bölenin kökleridir: P(0) = −1 ve P(3) = 5 olur. Q(x)'in x − 1 ile bölümünden kalan 4 ise Q(1) = 4'tür ve P(1) = (1 − 3)·4 + 2 − 1 = −7 bulunur. Bölümün katsayılar toplamı ya da sabit terimi sorulduğunda da aynı yol izlenir: x = 1 ya da x = 0 yazılır.
Toplamın ve çarpımın kalanı
P(x) ve R(x) polinomlarının aynı bölene göre kalanları biliniyorsa toplamlarının kalanı kalanların toplamıdır. Çarpımda ise kalanlar çarpılır; çarpımın derecesi bölenin derecesine ulaşırsa bu çarpım yeniden bölünür. x − 2 ile bölümünden kalanlar 3 ve −4 olan iki polinomun toplamı −1, çarpımı −12 kalanını verir.
Bölen x² − 1, kalanlar x + 1 ve 2x − 1 olsun. Kalanların çarpımı 2x² + x − 1 ikinci dereceden olduğu için kalan olamaz; x² yerine 1 yazılınca 2 + x − 1 = x + 1 bulunur. Aynı sonuca köklerle de varılır: çarpım x = 1 için 2·1 = 2, x = −1 için 0·(−3) = 0 değerini alır ve bu iki değeri veren birinci dereceden polinom x + 1'dir.
Çarpanla ya da ötelemeyle değişen polinom
Kalan teoremi hangi polinoma uygulanıyorsa değer o polinomda hesaplanır. x·P(x) polinomunun x − a ile bölümünden kalan a·P(a) değeridir; P(3) = 5 ise x·P(x)'in x − 3 ile bölümünden kalan 15 olur. P(x + 1) polinomunun x − a ile bölümünden kalan ise P(a + 1) değeridir: x − 2 ile bölümden kalan P(3)'tür. Soruda verilen kalanı önce P'nin bir değerine çevirmek, sonra istenen polinomda yerine koymak gerekir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. P(x) polinomunun x − 2 ile bölümünden kalan 3, Q(x) polinomunun x − 2 ile bölümünden kalan −4'tür. x²·P(x) + 3·Q(x) polinomunun x − 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm. Kalan teoremine göre P(2) = 3 ve Q(2) = −4'tür. İstenen kalan, verilen polinomun x = 2 için değeridir: 2²·P(2) + 3·Q(2) = 4·3 + 3·(−4) = 12 − 12 = 0. Kalan 0 olduğu için bu polinom x − 2 ile tam bölünür. x² çarpanını hesaba katmayıp 3 + 3·(−4) = −9 bulmak sık yapılan hatadır.
Örnek 2. P(x + 2) polinomunun x − 1 ile bölümünden kalan 7, P(x − 1) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan −3'tür. P(x) polinomunun x² − x − 6 ile bölümünden kalan nedir?
Çözüm. İlk bilgi x = 1 yazılarak P(3) = 7, ikinci bilgi x = −1 yazılarak P(−2) = −3 biçiminde okunur. x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) olduğundan kalan mx + n biçimindedir ve 3m + n = 7, −2m + n = −3 eşitliklerini sağlar. Taraf tarafa çıkarınca 5m = 10, m = 2 ve n = 1 bulunur. Kalan 2x + 1'dir.
Örnek 3. P(x) = (x² − x − 6)·Q(x) + 4x + 1 eşitliğinde Q(x) polinomunun katsayılar toplamı 2 olduğuna göre P(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
Çözüm. Katsayılar toplamı polinomun x = 1 için değeridir; Q(1) = 2 verilmiştir. Özdeşlikte x = 1 yazılır: P(1) = (1 − 1 − 6)·2 + 4 + 1 = −12 + 5 = −7. Yalnızca kalanın katsayılar toplamı olan 5'i yazmak yanlıştır; x = 1 bölenin kökü olmadığı için bölümün katkısı sıfırlanmaz.
Sık yapılan hatalar
- Bölenin kökü olmayan bir sayıda bölümün katkısını yok saymak.
- x·P(x) polinomunun kalanını bulurken yalnızca P(a) değerini yazmak.
- P(x + 2) için verilen kalanı P(1) sanmak; x = 1 yazılınca P(3) elde edilir.
- Çarpımın kalanında derecesi bölene ulaşan ifadeyi kalan diye bırakmak.
- Bölenin köklerinde P ile K aynı değeri alır.
- Toplamın kalanı kalanların toplamıdır; çarpımda kalanlar çarpılır ve gerekirse yeniden bölünür.
- x·P(x)'in x − a ile bölümünden kalan a·P(a), P(x + 1)'in kalanı P(a + 1) değeridir.