Konu anlatımı
Bir polinomun kökleri biliniyorsa polinomun kendisi neredeyse bilinir. Bu alt başlıkta çarpan teoremini, kökleri verilen polinomu çarpanlarıyla yazmayı, baş katsayıyı bulmayı, kökleri arasında bağıntı olan polinomları ve x yerine başka bir ifade yazıldığında köklerin nasıl değiştiğini göreceksin.
Çarpan teoremi
r sayısı P(x)'in kökü ise, yani P(r) = 0 ise x − r polinomun bir çarpanıdır; tersine x − r bir çarpansa P(r) = 0 olur. P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6 için P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0 olduğundan x − 1 bir çarpandır. Bölme yapılınca bölüm x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) çıkar; polinom (x − 1)(x − 3)(x + 2) biçiminde çarpanlarına ayrılır ve kökleri 1, 3 ve −2'dir. Katsayıları tam sayı olan bir polinomun sıfırdan farklı bir tam sayı kökü varsa bu kök sabit terimi böler; kök ararken önce sabit terimin bölenleri denenir.
Çarpanlı yazım ve baş katsayı
Derecesi n olan bir polinomun, katları da sayılarak n kökü biliniyorsa polinom P(x) = a(x − x₁)(x − x₂)...(x − xₙ) biçiminde yazılır. Kökler baş katsayıyı belirlemez: (x − 1)(x − 2) ile 5(x − 1)(x − 2) aynı köklere sahiptir. Bu yüzden a, P(0) ya da başka bir noktadaki değer gibi ek bir bilgiden bulunur. Bilinen kök sayısı dereceden azsa kalan kısım bilinmeyen bir polinom olarak bırakılır: kökleri arasında 1 ve −2 bulunan P(x) için P(x) = (x − 1)(x + 2)·Q(x) yazılır.
Kökleri arasında bağıntı olan polinomlar
Kökler bir aritmetik dizinin ardışık üç terimiyse m − d, m, m + d biçiminde yazılır; böylece üç bilinmeyen ikiye iner. Kökler bir geometrik dizinin ardışık üç terimiyse ortanca kökün karesi öteki iki kökün çarpımına eşittir. Bu yazımlar çarpanlı biçimde yerine konur ve verilen değerle bilinmeyenler bulunur.
Dönüştürülmüş polinomun kökleri
P(x)'in kökleri biliniyorsa P(x − 1), P(2x) gibi polinomların kökleri, içteki ifade P'nin köklerine eşitlenerek bulunur. P(x)'in kökleri 1 ve 4 ise P(x − 1)'in kökleri x − 1 = 1 ve x − 1 = 4 eşitliklerinden 2 ve 5, P(2x)'in kökleri 2x = 1 ve 2x = 4 eşitliklerinden 1/2 ve 2 olur. P(x − 1) polinomunda köklerin 1 azalmadığına, 1 arttığına dikkat et: grafik sağa kayar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Üçüncü dereceden P(x) polinomunda 2 iki katlı, −1 bir katlı köktür ve P(1) = 6'dır. P(3) kaçtır?
Çözüm. Katlı kök katı kadar çarpan verdiği için P(x) = a(x − 2)²(x + 1) yazılır. P(1) = a·(−1)²·2 = 2a olduğundan 2a = 6 ve a = 3 bulunur. P(3) = 3·1²·4 = 12'dir. İki katlı kökü tek çarpanla yazmak polinomun derecesini 2'ye düşürür ve soruyla çelişir.
Örnek 2. Baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden P(x) polinomunun kökleri bir aritmetik dizinin ardışık üç terimidir. Ortanca kök 1 ve P(0) = 15 olduğuna göre P(2) kaçtır?
Çözüm. Kökler 1 − d, 1 ve 1 + d biçiminde yazılır: P(x) = (x − 1 + d)(x − 1)(x − 1 − d). P(0) = (d − 1)·(−1)·(−1 − d) = (d − 1)(d + 1) = d² − 1 olur. d² − 1 = 15 eşitliğinden d = 4 alınır; kökler −3, 1 ve 5'tir. P(2) = (2 + 3)(2 − 1)(2 − 5) = 5·1·(−3) = −15 bulunur. d = −4 almak aynı üç kökü verir.
Örnek 3. Üçüncü dereceden P(x) polinomunun kökleri −1, 2 ve 4'tür. P(2x − 2) polinomunun kökleri toplamı kaçtır?
Çözüm. İçteki ifade P'nin köklerine eşitlenir. 2x − 2 = −1 için x = 1/2, 2x − 2 = 2 için x = 2 ve 2x − 2 = 4 için x = 3 bulunur. Kökler toplamı 1/2 + 2 + 3 = 11/2'dir. P'nin kökler toplamı olan 5'i doğrudan yazmak ya da kökleri 2 ile çarpmak yanlış sonuç verir.
Sık yapılan hatalar
- Baş katsayıyı belirlemeden polinomu yalnızca çarpanların çarpımı olarak yazmak.
- Kökü −2 olan çarpanı x − 2 yazmak; doğrusu x + 2'dir.
- P(x − 1) polinomunun köklerini bulurken kökleri 1 azaltmak; kökler 1 artar.
- P(r) = 0 ise x − r bir çarpandır; tersi de doğrudur.
- n kökü bilinen n. dereceden polinom a(x − x₁)...(x − xₙ) biçimindedir; a ek bir değerden bulunur.
- P(g(x)) polinomunun kökleri, g(x) ifadesi P'nin köklerine eşitlenerek bulunur.