Konu anlatımı
Kuralı verilmeyen bir polinom, sağladığı bir özdeşlikten bulunabilir. Bu alt başlıkta özdeşliğe bakarak önce dereceyi belirlemeyi, P(P(x)) ya da P(2x) içeren eşitliklerde katsayıları bulmayı ve bir polinomu x − 1'in kuvvetlerine göre yazmayı göreceksin.
Önce dereceyi belirle
Derecesi n olan P(x) için P(x²) ve [P(x)]² polinomlarının derecesi 2n, P(P(x)) polinomunun derecesi n², P(x)·P(x + 1) çarpımının derecesi 2n olur. P(x + 1), P(2x) ve P(x − 3) gibi polinomların derecesi ise değişmez. Özdeşliğin iki yanının derecesi eşit olmak zorundadır; bu eşitlik n sayısını verir. Derece bulunduktan sonra polinom katsayılarıyla yazılır ve katsayılar karşılaştırılır.
Bileşke biçimli özdeşlikler
P(P(x)) = 4x + 9 eşitliğinde sağ taraf birinci dereceden olduğu için n² = 1 ve n = 1'dir. P(x) = ax + b yazılırsa P(P(x)) = a(ax + b) + b = a²x + ab + b olur. a² = 4 eşitliği iki değer verir. a = 2 için 3b = 9 ve b = 3, a = −2 için −b = 9 ve b = −9 bulunur. Demek ki bu özdeşliği sağlayan iki polinom vardır: 2x + 3 ve −2x − 9. Soru çoğu zaman baş katsayının işaretini ya da bir değeri vererek bunlardan birini seçtirir.
Ölçeklenmiş değişken
P(x) + P(2x) = 5x² + 6x + 4 özdeşliğinde iki yanın derecesi 2'dir; P(x) = ax² + bx + c yazılır. P(2x) = 4ax² + 2bx + c olduğundan toplam 5ax² + 3bx + 2c eder. Katsayılar karşılaştırılınca a = 1, b = 2, c = 2 ve P(x) = x² + 2x + 2 bulunur. Bu tür sorularda her terimin katsayısı farklı bir sayıyla çarpılır: P(2x) yazılırken x² teriminde 4, x teriminde 2, sabit terimde 1 çarpanı gelir.
x − 1'in kuvvetlerine göre yazmak
P(x) = x³ − 2x + 5 polinomu a(x − 1)³ + b(x − 1)² + c(x − 1) + d biçiminde yazılmak istenirse x − 1 = t, yani x = t + 1 dönüşümü yapılır: (t + 1)³ − 2(t + 1) + 5 = t³ + 3t² + t + 4. Buna göre a = 1, b = 3, c = 1 ve d = 4'tür. Kısa kontroller de vardır: x = 1 yazılınca d = P(1) = 4, x = 2 yazılınca a + b + c + d = P(2) = 9 bulunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. P(x) bir polinomdur ve her x için P(2x) − 2·P(x) = 2x² − 3 eşitliği sağlanır. P(1) = 6 olduğuna göre P(2) kaçtır?
Çözüm. Derecesi n olan bir polinomda P(2x) − 2·P(x) farkının xⁿ içeren teriminin katsayısı (2ⁿ − 2) ile çarpılır; bu sayı yalnızca n = 1 için sıfırdır. Sağ taraf ikinci dereceden olduğundan P(x) = ax² + bx + c yazılır. Fark 4ax² + 2bx + c − 2ax² − 2bx − 2c = 2ax² − c olur; a = 1 ve c = 3 bulunur. x içeren terimler birbirini götürdüğü için b özdeşlikten bulunamaz; P(1) = 1 + b + 3 = 6 koşulundan b = 2 çıkar. P(x) = x² + 2x + 3 ve P(2) = 11'dir.
Örnek 2. Baş katsayısı pozitif olan P(x) polinomu için her x değerinde P(P(x)) = 9x − 8 olduğuna göre P(5) kaçtır?
Çözüm. Sağ taraf birinci dereceden olduğundan P(x) = ax + b biçimindedir ve P(P(x)) = a²x + ab + b olur. a² = 9 ve a > 0 olduğundan a = 3'tür. ab + b = 4b = −8 eşitliğinden b = −2 bulunur. P(x) = 3x − 2 ve P(5) = 13'tür. Baş katsayı koşulu verilmeseydi a = −3 ve b = 4 ile −3x + 4 polinomu da özdeşliği sağlardı.
Sık yapılan hatalar
- P(P(x)) polinomunun derecesini 2n sanmak; doğrusu n² değeridir.
- a² = 4 eşitliğinden yalnızca a = 2 almak ve ikinci polinomu kaçırmak.
- P(2x) yazarken yalnızca baş terimi 2 ile çarpmak; her terimde x yerine 2x konur.
- der P = n ise der P(P(x)) = n², der P(x²) = 2n.
- Önce derece, sonra katsayılar: polinomu harfli katsayılarla yaz ve karşılaştır.
- x − 1'in kuvvetlerine göre yazmak için x = t + 1 dönüşümü yapılır.