Konu anlatımı
AYT'de polinom çoğu zaman kuralıyla değil, grafiğiyle ya da bir değer tablosuyla verilir. Bu alt başlıkta grafikten kökleri, katlarını ve sabit terimi okumayı, baş katsayıyı bulmayı, bir doğruyla kesişim noktalarından polinom kurmayı ve tablodaki değerlerle kalan bulmayı göreceksin.
Grafik ne söyler
Grafiğin x eksenini kestiği ya da eksene değdiği noktaların apsisleri polinomun gerçek kökleridir. y eksenini kestiği noktanın ordinatı P(0) değeridir ve sabit terimi verir. Grafiğin üzerindeki her nokta bir değer bilgisidir: (2, 5) noktası grafikteyse P(2) = 5'tir, yani x − 2 ile bölümden kalan 5'tir. Ayrıca x = 1 apsisli noktanın ordinatı katsayılar toplamıdır.
Kesme ve teğet olma
Grafik bir kökte ekseni keserek öbür yana geçiyorsa o kök tek katlıdır; eksene değip aynı yanda kalıyorsa çift katlıdır. Katları kesinleştirmek için derece bilgisi kullanılır. Üçüncü dereceden P(x)'in grafiği x = −1 noktasında eksene teğet, x = 2 noktasında ekseni kesiyor olsun. Katlar toplamı 3'ü geçemeyeceği için −1 iki katlı, 2 bir katlı köktür ve P(x) = a(x + 1)²(x − 2) yazılır. Grafik y eksenini 4 ordinatlı noktada kesiyorsa P(0) = −2a = 4 eşitliğinden a = −2 bulunur; bu polinomda P(1) = −2·4·(−1) = 8 olur.
Bir doğruyla kesişim
P(x)'in grafiği ile y = mx + n doğrusunun kesişim noktalarında P(x) = mx + n olur; yani bu noktaların apsisleri P(x) − (mx + n) polinomunun kökleridir. Üçüncü dereceden bir polinomun grafiği bir doğruyu üç farklı noktada kesiyorsa P(x) − (mx + n) = a(x − x₁)(x − x₂)(x − x₃) yazılır. x ekseni y = 0 doğrusu olduğu için kökleri okumak bu fikrin özel durumudur.
Tablodaki değerlerle kalan
Değer tablosu, kalan teoremi için hazır veridir. Bölen (x − a)(x − b) ise tablodan P(a) ve P(b) okunur, kalan mx + n biçiminde yazılır ve iki denklem çözülür. Tabloda bölenin kökleri dışındaki değerler bu soruda kullanılmaz; hangi değerlerin gerekli olduğunu bölenin kökleri belirler.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Dördüncü dereceden P(x) polinomunun grafiği x eksenine x = 1 noktasında teğettir, ekseni x = −1 ve x = 3 noktalarında keser ve y eksenini −6 ordinatlı noktada keser. P(2) kaçtır?
Çözüm. Teğet nokta çift katlı, kesim noktaları tek katlı köktür; derece 4 olduğundan katlar 2, 1 ve 1'dir: P(x) = a(x − 1)²(x + 1)(x − 3). P(0) = a·1·1·(−3) = −3a olduğundan −3a = −6 ve a = 2 bulunur. P(2) = 2·1²·3·(−1) = −6'dır.
Örnek 2. Üçüncü dereceden P(x) polinomunun grafiği y = 2x + 1 doğrusunu apsisleri −1, 0 ve 2 olan noktalarda kesmektedir. P(1) = 7 olduğuna göre P(3) kaçtır?
Çözüm. Kesişim noktalarının apsisleri P(x) − (2x + 1) polinomunun kökleridir: P(x) − (2x + 1) = a(x + 1)·x·(x − 2). x = 1 için sol taraf 7 − 3 = 4, sağ taraf a·2·1·(−1) = −2a olduğundan a = −2 bulunur. x = 3 için P(3) − 7 = −2·4·3·1 = −24 ve P(3) = −17 olur. Doğrunun değerini geri eklemeyi unutmak −24 sonucuna götürür.
Örnek 3. Bir P(x) polinomu için P(−1) = 5, P(0) = 7 ve P(2) = −1 değerleri bir tabloda verilmiştir. P(x) polinomunun x² − x − 2 ile bölümünden kalan nedir?
Çözüm. x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1) olduğundan bölenin kökleri 2 ve −1'dir; tablodan P(2) = −1 ve P(−1) = 5 alınır. Kalan mx + n ise 2m + n = −1 ve −m + n = 5 olur. Taraf tarafa çıkarınca 3m = −6, m = −2 ve n = 3 bulunur. Kalan −2x + 3'tür. P(0) = 7 değeri bu soruda gerekmez; 0 bölenin kökü değildir.
Sık yapılan hatalar
- Eksene teğet olan kökü tek çarpanla yazmak.
- Baş katsayıyı bulmadan değer hesaplamak.
- Doğruyla kesişim sorusunda doğrunun ifadesini geri eklemeyi unutmak.
- y eksenini kestiği noktayı kök sanmak; o nokta sabit terimi verir.
- x eksenindeki noktalar kökleri, y eksenindeki nokta sabit terimi verir.
- Eksene değip dönen nokta çift katlı, ekseni kesen nokta tek katlı köktür.
- Bir doğruyla kesişim noktalarının apsisleri P(x) − (mx + n) polinomunun kökleridir.