Konu anlatımı
Bir kök polinomda birden çok kez çarpan olarak bulunabilir. Bu alt başlıkta katlı kökü, (x − a)² ile tam bölünmenin koşulunu, katlı kökün grafikteki görünümünü ve bölen bir tam kare olduğunda kalanı bulmayı göreceksin.
Katlı kök
P(x) = (x − a)ᵏ·Q(x) ve Q(a) ≠ 0 ise a sayısı P(x)'in k katlı köküdür. k tek sayıysa tek katlı, çift sayıysa çift katlı kökten söz edilir. P(x) = (x − 1)²(x + 2) polinomunda 1 iki katlı, −2 bir katlı köktür. Köklerin katları toplamı polinomun derecesini geçemez; bu örnekte 2 + 1 = 3 olur ve polinom üçüncü derecedendir.
(x − a)² ile tam bölünme
P(x)'in (x − a)² ile tam bölünmesi, a'nın en az iki katlı kök olması demektir. Bunun için P(a) = 0 yetmez. P(x) = (x − a)·S(x) yazıldığında S(a) = 0 da olmalıdır; yani x − a ile art arda iki kez bölündüğünde iki kalan da sıfır çıkar. Türev bilgisiyle koşul kısalır: P(a) = 0 ve P′(a) = 0. Çünkü P(x) = (x − a)²·Q(x) ise çarpımın türevinden P′(x) = 2(x − a)·Q(x) + (x − a)²·Q′(x) olur ve bu ifade x = a için sıfırdır.
Derece ve baş katsayı biliniyorsa en kısa yol polinomu çarpanlarıyla yazmaktır: baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden bir polinom (x − a)² ile tam bölünüyorsa P(x) = (x − a)²(x + c) biçimindedir ve c tek bir bilgiden bulunur.
Grafikteki anlamı
Tek katlı kökte grafik x eksenini keserek öbür yana geçer ve polinomun işareti değişir. Çift katlı kökte grafik eksene teğet olur, aynı yanda kalır ve işaret değişmez. P(x) = (x − 1)²(x + 2) için 1'in iki yanında polinom pozitiftir: P(0) = 2 ve P(2) = 4. −2'nin iki yanında ise işaret değişir: P(−3) = −16 ve P(−1) = 4. Bu bilgi eşitsizlik çözerken işaret tablosunda da kullanılır.
Tam kare bölene göre kalan
P(x), (x − a)² ile bölündüğünde kalan en çok birinci derecedendir ve m(x − a) + n biçiminde yazılabilir. x = a konunca n = P(a) bulunur. m için iki yol vardır. Birincisi P(x) − P(a) polinomunu x − a ile bölmektir; elde edilen bölümün a'daki değeri m'dir. İkincisi türevdir: özdeşliğin iki yanının türevi alınıp x = a yazılınca m = P′(a) çıkar. Buna göre kalan P′(a)·(x − a) + P(a) olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. P(x) = x³ + ax² + bx − 18 polinomu (x + 3)² ile tam bölündüğüne göre P(1) kaçtır?
Çözüm. Baş katsayı 1 ve derece 3 olduğu için P(x) = (x + 3)²·(x + c) yazılır. Sabit terimler karşılaştırılınca 9c = −18 ve c = −2 bulunur; P(x) = (x + 3)²(x − 2) olur. P(1) = 4²·(−1) = −16'dır. İstenirse açılım yapılır: P(x) = x³ + 4x² − 3x − 18, yani a = 4 ve b = −3'tür.
Örnek 2. P(x) = x⁴ − 2x³ + 5x − 1 polinomunun (x − 1)² ile bölümünden kalan nedir?
Çözüm. Kalan m(x − 1) + n biçimindedir ve n = P(1) = 1 − 2 + 5 − 1 = 3'tür. m için P(x) − 3 = x⁴ − 2x³ + 5x − 4 polinomu x − 1 ile bölünür; bölüm x³ − x² − x + 4 olur ve bu bölümün 1'deki değeri 1 − 1 − 1 + 4 = 3'tür. Türevle de aynı sayı bulunur: P′(x) = 4x³ − 6x² + 5 ve P′(1) = 3. Kalan 3(x − 1) + 3 = 3x'tir.
Örnek 3. P(x) = (x² − 4)²·(x − 2)·(x + 1) polinomunun köklerinin katları nedir?
Çözüm. x² − 4 = (x − 2)(x + 2) olduğundan P(x) = (x − 2)²(x + 2)²(x − 2)(x + 1) = (x − 2)³(x + 2)²(x + 1) yazılır. 2 üç katlı, −2 iki katlı, −1 bir katlı köktür. Katlar toplamı 3 + 2 + 1 = 6'dır ve polinomun derecesine eşittir. Grafik −2 noktasında eksene değip döner, 2 ve −1 noktalarında ekseni keserek geçer.
Sık yapılan hatalar
- (x − a)² ile tam bölünme için yalnızca P(a) = 0 koşulunu yazmak.
- Tam kare bölende kalanı sabit sayı sanmak; kalan birinci dereceden olabilir.
- Çift katlı kökte polinomun işaret değiştirdiğini düşünmek.
- Katı sayarken çarpanları birleştirmemek: (x² − 4)² içindeki (x − 2)² ile ayrıca duran x − 2 çarpanı toplanır.
- (x − a)² ile tam bölünme: P(a) = 0 ve P′(a) = 0.
- Tek katlı kökte işaret değişir, çift katlı kökte değişmez.
- (x − a)² ile bölümden kalan P′(a)·(x − a) + P(a) olur.