Konu anlatımı
Tepe noktası, parabolle ilgili neredeyse her sorunun anahtarıdır. Bu alt başlıkta tepe noktasının koordinatlarını iki yoldan bulmayı, simetri eksenini ve simetri özelliğini, fonksiyonun en küçük ya da en büyük değerini ve görüntü kümesini göreceksin.
Tepe noktasının koordinatları
f(x) = ax² + bx + c ifadesi tam kareye tamamlanınca a(x − r)² + k biçimine gelir; burada r = −b/(2a) ve k = (4ac − b²)/(4a) olur. T(r, k) noktası parabolün tepe noktasıdır. k sayısını formülle hesaplamak yerine r değerini fonksiyonda yerine yazmak daha güvenlidir: k = f(r).
f(x) = 2x² − 8x + 5 için r = 8/4 = 2 ve k = f(2) = 8 − 16 + 5 = −3 bulunur; tepe noktası T(2, −3) olur. Tam kareyle de aynı sonuç çıkar: 2x² − 8x + 5 = 2(x − 2)² − 3.
Simetri ekseni
x = r doğrusu parabolün simetri eksenidir: her t için f(r − t) = f(r + t) olur. Bunun iki kullanışlı sonucu vardır. Birincisi, fonksiyon iki farklı noktada aynı değeri alıyorsa simetri ekseni bu iki noktanın tam ortasındadır: f(1) = f(7) ise r = 4 olur. İkincisi, parabol x eksenini iki noktada kesiyorsa r köklerin ortalamasıdır; bir kök ve simetri ekseni biliniyorsa öbür kök hemen bulunur.
En küçük ve en büyük değer
a > 0 ise kollar yukarı doğrudur; tepe noktası grafiğin en alt noktasıdır ve fonksiyonun en küçük değeri k olur. Fonksiyonun en büyük değeri yoktur ve bütün gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonun görüntü kümesi [k, ∞) aralığıdır. a < 0 ise tepe noktası en üst noktadır; en büyük değer k, görüntü kümesi (−∞, k] olur. f(x) = −x² + 4x + 1 için r = 2 ve k = f(2) = 5 bulunur: fonksiyonun en büyük değeri 5'tir ve bu değeri x = 2 için alır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x) = −x² + 6x + m fonksiyonunun en büyük değeri 4 olduğuna göre m kaçtır?
Çözüm. Baş katsayı negatif olduğundan en büyük değer tepe noktasında alınır. r = −6/(2·(−1)) = 3 bulunur. f(3) = −9 + 18 + m = 9 + m olduğundan 9 + m = 4 ve m = −5 çıkar. En büyük değeri soran soruda cevap tepe noktasının apsisi değil, ordinatıdır.
Örnek 2. f(x) = x² + bx + c fonksiyonu için f(−1) = f(5) ve fonksiyonun en küçük değeri −7 olduğuna göre f(0) kaçtır?
Çözüm. Fonksiyon −1 ve 5 noktalarında aynı değeri aldığından simetri ekseni bu noktaların ortasındadır: r = 2. Baş katsayı 1 olduğu için −b/2 = 2 ve b = −4 bulunur. En küçük değer f(2) = 4 − 8 + c = −7 olduğundan c = −3 çıkar. f(0) = c = −3'tür.
Örnek 3. y = x² − 2(m + 1)x + m² + 5 parabolünün tepe noktası x ekseni üzerinde olduğuna göre m kaçtır?
Çözüm. Tepe noktasının apsisi r = m + 1 olur. Ordinatı f(m + 1) = (m + 1)² − 2(m + 1)² + m² + 5 = −2m + 4 bulunur. Tepe noktası x ekseni üzerinde olduğundan −2m + 4 = 0 ve m = 2 çıkar. Bu değer için parabol y = x² − 6x + 9 = (x − 3)² olur ve eksene (3, 0) noktasında teğettir. Aynı sonuca Δ = 0 koşuluyla da varılır.
Sık yapılan hatalar
- r değerini bulup en küçük ya da en büyük değer olarak onu yazmak; istenen k = f(r) değeridir.
- a < 0 iken tepe noktasını en küçük değer sanmak.
- f(p) = f(q) bilgisinden simetri eksenini bulmayı düşünmeyip iki bilinmeyenli denklem kurmak.
- r = −b/(2a) ve k = f(r).
- f(p) = f(q) ve p ≠ q ise r = (p + q)/2.
- a > 0: en küçük değer k; a < 0: en büyük değer k.