Konu anlatımı
Parabol ile doğru sorularında iki farklı uzaklık sorulur: aynı apsisli noktalar arasındaki düşey uzaklık ve parabolün doğruya en yakın noktası. Bu alt başlıkta bu iki soruyu birbirinden ayırmayı ve her birini çözmeyi göreceksin.
Düşey uzaklık
Aynı x değeri için parabol üzerindeki nokta ile doğru üzerindeki nokta arasındaki uzaklık, iki fonksiyonun farkının mutlak değeridir. İki kesişim noktasının arasında üstte kalan eğriden altta kalan çıkarılır; fark ikinci dereceden bir fonksiyondur ve en büyük değerini kendi tepe noktasında, yani iki kesişim apsisinin tam ortasında alır.
y = −x² + 4x parabolü ile y = x doğrusu x = 0 ve x = 3 apsisli noktalarda kesişir. Arada parabol üsttedir ve düşey uzaklık −x² + 4x − x = −x² + 3x olur. Bu ifadenin en büyük değeri x = 3/2 için 9/4'tür.
Doğruya en yakın nokta
Parabol ile doğru kesişmiyorsa parabolün doğruya en yakın noktası, doğruya paralel olan teğetin değme noktasıdır. Çünkü doğruya paralel bir doğru parabole doğru kaydırıldığında parabole ilk kez teğet olarak değer. Bu noktayı bulmak için doğruyla aynı eğimli y = mx + n doğrusu yazılır ve Δ = 0 koşulundan n ile değme noktası bulunur. Türev biliyorsan aynı nokta f′(x) = m eşitliğinden de çıkar.
En kısa uzaklık, değme noktasının doğruya uzaklığıdır: (x₀, y₀) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²) olur. y = x² parabolü ile y = 2x − 6 doğrusu için paralel teğet y = 2x + n biçimindedir; x² − 2x − n = 0 denkleminde Δ = 4 + 4n = 0 koşulu n = −1 verir ve değme noktası (1, 1) olur. Bu noktanın 2x − y − 6 = 0 doğrusuna uzaklığı |2 − 1 − 6|/√5 = 5/√5 = √5 birimdir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. y = x² − 2x + 3 parabolü ile y = 2x + 7 doğrusunun kesişim noktaları arasında, aynı apsisli noktalar arasındaki düşey uzaklık en çok kaç birimdir?
Çözüm. Kesişim noktalarının arasında doğru üsttedir; düşey uzaklık d(x) = 2x + 7 − (x² − 2x + 3) = −x² + 4x + 4 olur. Bu fonksiyonun tepe noktasının apsisi 2'dir ve d(2) = −4 + 8 + 4 = 8 bulunur. En büyük düşey uzaklık 8 birimdir: x = 2 için doğru üzerindeki nokta (2, 11), parabol üzerindeki nokta (2, 3) noktasıdır.
Örnek 2. y = x² + 2x + 3 parabolünün y = −2x − 5 doğrusuna en yakın noktası hangisidir ve bu en kısa uzaklık kaç birimdir?
Çözüm. Önce kesişme olmadığı görülür: x² + 4x + 8 = 0 denkleminde Δ = 16 − 32 < 0. Doğruya paralel teğet y = −2x + n biçimindedir: x² + 2x + 3 = −2x + n, yani x² + 4x + 3 − n = 0. Δ = 16 − 4(3 − n) = 0 koşulundan n = −1 bulunur; denklem (x + 2)² = 0 olur ve değme noktası P(−2, 3) noktasıdır. Doğru 2x + y + 5 = 0 biçiminde yazılır; uzaklık |−4 + 3 + 5|/√5 = 4/√5 = 4√5/5 birimdir.
Sık yapılan hatalar
- Doğruya en yakın noktayı tepe noktası sanmak; doğru yatay değilse en yakın nokta tepe noktası değildir.
- En kısa uzaklık yerine düşey uzaklığı hesaplamak.
- Düşey uzaklıkta alttaki fonksiyondan üsttekini çıkarıp negatif bir uzaklık bulmak.
- Uzaklık formülünde doğruyu ax + by + c = 0 biçimine getirmeden katsayıları yazmak.
- Düşey uzaklık iki fonksiyonun farkıdır; en büyük değeri kesişim apsislerinin ortasında alınır.
- Doğruya en yakın nokta, doğruya paralel teğetin değme noktasıdır.
- Noktanın doğruya uzaklığı: |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²).