Konu anlatımı
Gerçek hayattaki pek çok büyüklük ikinci dereceden bir fonksiyonla modellenir ve soru bu büyüklüğün en büyük ya da en küçük değerini ister. Bu alt başlıkta tepe noktasını bu amaçla kullanmayı, değişken bir aralıkla sınırlandığında nelerin değiştiğini ve modeli kurmanın adımlarını göreceksin.
Kapalı aralıkta değerler
Fonksiyon bir [p, q] aralığında inceleniyorsa önce tepe noktasının apsisinin bu aralıkta olup olmadığına bakılır. Aralıktaysa uç değerlerden biri tepe noktasındadır; öbürü, tepe noktasına daha uzak olan uç noktadadır. Aralıkta değilse fonksiyon o aralıkta yalnızca artar ya da yalnızca azalır ve iki uç değer aralığın uçlarında alınır.
f(x) = x² − 4x + 1 için tepe noktası (2, −3) noktasıdır. [0, 5] aralığında en küçük değer −3, en büyük değer tepeye daha uzak uçta f(5) = 6 olur. [3, 5] aralığı tepe noktasını içermez; fonksiyon burada artandır, en küçük değer f(3) = −2 ve en büyük değer f(5) = 6 olur.
Modeli kurmak
Önce en büyük ya da en küçük değeri istenen büyüklük belirlenir. Sonra bu büyüklük tek bir değişkene bağlı yazılır; ikinci bir değişken varsa verilen koşulla yok edilir. Elde edilen ikinci dereceden fonksiyonun tepe noktası bulunur. Son olarak sorunun ne istediğine bakılır: en büyük değerin kendisi mi, yoksa o değeri veren değişken mi? Değişken yalnızca tam sayı değerleri alabiliyorsa ve tepe noktasının apsisi tam sayı değilse en yakın tam sayılar denenir.
Sık karşılaşılan modeller
Çevresi ya da tel uzunluğu sabit olan dikdörtgenlerde alan, bir kenarın ikinci dereceden fonksiyonudur. Fiyat ile satış miktarının birlikte değiştiği durumlarda gelir, fiyat ile miktarın çarpımıdır. Yukarı atılan bir cismin yüksekliği zamana bağlı ikinci dereceden bir fonksiyonla verilir; en büyük yükseklik tepe noktasının ordinatı, o yüksekliğe ulaşma süresi apsisidir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yerden yukarı doğru atılan bir topun t saniye sonraki yüksekliği h(t) = −5t² + 20t + 1 metredir. Top en çok kaç metre yükselir?
Çözüm. Baş katsayı negatif olduğundan en büyük değer tepe noktasındadır. t = −20/(2·(−5)) = 2 saniye bulunur. h(2) = −20 + 40 + 1 = 21 olduğundan top en çok 21 metre yükselir. Soru süreyi sorsaydı cevap 2 saniye olurdu.
Örnek 2. Bir kenarı duvar olan dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin öbür üç kenarı toplam 36 metre telle çevrilecektir. Bahçenin alanı en çok kaç metrekare olur?
Çözüm. Duvara dik iki kenarın her biri x metre olsun; duvara paralel kenar 36 − 2x metre olur. Alan A(x) = x(36 − 2x) = −2x² + 36x biçimindedir. Tepe noktasının apsisi x = −36/(2·(−2)) = 9 olur. A(9) = 9·18 = 162 bulunur; en büyük alan 162 metrekaredir ve duvara paralel kenar 18 metredir.
Örnek 3. f(x) = −x² + 2x + 7 fonksiyonunun [−1, 2] aralığındaki en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm. Tepe noktasının apsisi 1'dir ve aralıktadır; kollar aşağı doğru olduğundan en büyük değer f(1) = 8'dir. En küçük değer tepeye daha uzak olan uçtadır: f(−1) = −1 − 2 + 7 = 4, öteki uçta ise f(2) = 7 olur. En küçük değer 4, toplam 8 + 4 = 12'dir.
Sık yapılan hatalar
- Tepe noktası aralığın dışındayken en büyük ya da en küçük değer olarak k sayısını yazmak.
- Üç kenarı çevrilen bahçede teli dört kenara paylaştırmak.
- En büyük değer yerine o değeri veren x sayısını cevap olarak vermek.
- Büyüklüğü tek değişkenli ikinci dereceden fonksiyon olarak yaz.
- En büyük ya da en küçük değer tepe noktasının ordinatıdır.
- Kapalı aralıkta önce tepe noktasının aralıkta olup olmadığına bak.