Konu anlatımı
Grafik sorularının çoğu önce parabolün denklemini kurmanı ister. Bu alt başlıkta verilen bilgiye göre hangi yazım biçimini seçeceğini, tepe noktasından, köklerden ve üç noktadan denklem yazmayı ve simetriden yararlanarak eksik bilgiyi tamamlamayı göreceksin.
Tepe noktası ve bir nokta
Tepe noktası T(r, k) biliniyorsa y = a(x − r)² + k yazılır ve a, parabolün üzerindeki başka bir noktadan bulunur. Tepe noktası (1, 2) olan ve (3, 10) noktasından geçen parabol için 10 = 4a + 2 ve a = 2 bulunur; denklem y = 2(x − 1)² + 2 = 2x² − 4x + 4 olur. Yalnızca tepe noktasını bilmek yetmez: aynı tepe noktasına sahip sonsuz sayıda parabol vardır.
Kökler ve bir nokta
Parabol x eksenini x₁ ve x₂ apsisli noktalarda kesiyorsa y = a(x − x₁)(x − x₂) yazılır; a yine üçüncü bir noktadan, çoğu zaman y eksenini kestiği noktadan bulunur. Parabol x eksenine (3, 0) noktasında teğetse iki kök çakışıktır ve y = a(x − 3)² yazılır; bu parabol (1, 8) noktasından geçiyorsa 4a = 8 ve a = 2 olur.
Bir kök ve simetri ekseni verilmişse öbür kök simetriyle bulunur: simetri ekseni x = 2 doğrusu ve köklerden biri −1 ise öbür kök 2·2 − (−1) = 5 olur.
Üç nokta
Tepe noktası ya da kökler bilinmiyorsa genel biçim y = ax² + bx + c kullanılır ve her nokta bir denklem verir. Noktalardan biri y ekseni üzerindeyse c doğrudan okunur ve geriye iki bilinmeyenli iki denklem kalır. Üç nokta bir doğru üzerindeyse bu noktalardan geçen bir parabol yoktur; hesapta a = 0 çıkar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Tepe noktası T(−1, 8) olan bir parabol x eksenini 1 apsisli noktada kesmektedir. Parabol y eksenini hangi noktada keser ve x eksenini kestiği öbür noktanın apsisi kaçtır?
Çözüm. y = a(x + 1)² + 8 yazılır. (1, 0) noktası için 0 = 4a + 8 ve a = −2 bulunur. x = 0 için y = −2 + 8 = 6 olur; parabol y eksenini (0, 6) noktasında keser. Simetri ekseni x = −1 doğrusudur; 1 kökü bu eksene 2 birim uzaklıkta olduğundan öbür kök −1 − 2 = −3'tür.
Örnek 2. x eksenini −2 ve 4 apsisli noktalarda kesen ve (2, −16) noktasından geçen parabolün en küçük değeri kaçtır?
Çözüm. y = a(x + 2)(x − 4) yazılır. (2, −16) noktası için a·4·(−2) = −16 ve a = 2 bulunur; denklem y = 2(x + 2)(x − 4) = 2x² − 4x − 16 olur. Tepe noktasının apsisi köklerin ortalaması olan 1'dir ve ordinatı 2·3·(−3) = −18'dir. Baş katsayı pozitif olduğundan en küçük değer −18'dir.
Örnek 3. (0, 3), (1, 4) ve (−2, −11) noktalarından geçen parabolün tepe noktasının apsisi kaçtır?
Çözüm. y = ax² + bx + c biçiminde (0, 3) noktası c = 3 verir. (1, 4) noktasından a + b + 3 = 4, yani a + b = 1; (−2, −11) noktasından 4a − 2b + 3 = −11, yani 2a − b = −7 bulunur. İki eşitlik toplanınca 3a = −6, a = −2 ve b = 3 çıkar. Parabol y = −2x² + 3x + 3 olur ve tepe noktasının apsisi −b/(2a) = 3/4'tür.
Sık yapılan hatalar
- Tepe noktası (−1, 8) iken y = a(x − 1)² + 8 yazmak; doğrusu a(x + 1)² + 8 biçimidir.
- a katsayısını bulmadan y = (x − x₁)(x − x₂) yazıp bırakmak.
- Eksene teğet olan parabolü iki farklı köklü gibi yazmak.
- Tepe noktası verilmişse y = a(x − r)² + k.
- Kökler verilmişse y = a(x − x₁)(x − x₂).
- a her zaman ek bir noktadan bulunur.
- Simetri ekseni r ve bir kök x₁ ise öbür kök 2r − x₁ olur.