Konu anlatımı
Parabolün özel noktaları birleştirilerek üçgenler ve dörtgenler oluşturulur ve bunların alanı sorulur. Bu alt başlıkta gereken noktaları bulmayı, tabanı bir eksene paralel olan üçgenlerde alanı hızlıca hesaplamayı ve köşeleri eksen üzerinde olmayan şekilleri parçalara ayırmayı göreceksin.
Özel noktalar
Alan sorularında dört nokta sürekli kullanılır: parabolün x eksenini kestiği A ve B noktaları, y eksenini kestiği C noktası ve T tepe noktası. y = x² − 6x + 8 için kökler 2 ve 4 olduğundan A(2, 0) ve B(4, 0), sabit terim 8 olduğundan C(0, 8), tepe noktası ise T(3, −1) olur. Şekil verilmemişse bu noktaları kabaca bir koordinat düzlemine yerleştirmek işaretlerde hata yapmanı önler.
Tabanı eksene paralel üçgenler
Tabanı x ekseni üzerindeki [AB] olan üçgenlerde taban uzunluğu köklerin farkı, yükseklik ise üçüncü köşenin ordinatının mutlak değeridir. Aynı parabolde |AB| = 2 olduğundan ABC üçgeninin alanı 2·8/2 = 8, ABT üçgeninin alanı 2·1/2 = 1 birimkaredir.
Yatay bir doğru parabolü iki noktada kesiyorsa bu noktalar simetri eksenine göre simetriktir. y = 8 doğrusu parabolü C(0, 8) ve D(6, 8) noktalarında keser; CTD üçgeninin tabanı 6, yüksekliği 8 − (−1) = 9 birimdir ve alanı 27 birimkaredir. Yükseklik hesaplanırken ordinatların farkı alınır; nokta eksenin altındaysa uzaklıklar toplanmış olur.
Parçalara ayırma
Köşeleri eksen üzerinde olmayan ya da dört köşeli şekillerde alan, şekil tanıdık parçalara bölünerek bulunur. Köşelerden geçen düşey doğrular şekli üçgenlere ve yamuklara ayırır. Bir üçgende, bir köşeden geçen düşey doğru karşı kenarı kesiyorsa alan, bu düşey parçanın uzunluğu ile öbür iki köşenin apsis farkının çarpımının yarısıdır. İkinci bir yol, şekli kenarları eksenlere paralel bir dikdörtgenin içine almak ve köşelerdeki dik üçgenleri çıkarmaktır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. y = x² − 2x − 8 parabolü x eksenini A ve B noktalarında (A solda), y eksenini C noktasında kesmektedir ve tepe noktası T'dir. Köşeleri sırasıyla A, C, T ve B olan dörtgenin alanı kaç birimkaredir?
Çözüm. Kökler −2 ve 4 olduğundan A(−2, 0) ve B(4, 0); C(0, −8) ve T(1, −9) bulunur. Dörtgen x ekseninin altındadır ve x = 0 ile x = 1 doğrularıyla üç parçaya ayrılır. Solda tabanı 2, yüksekliği 8 olan dik üçgenin alanı 8'dir. Ortada paralel kenarları 8 ve 9, yüksekliği 1 olan yamuğun alanı 17/2'dir. Sağda tabanı 3, yüksekliği 9 olan dik üçgenin alanı 27/2'dir. Toplam 8 + 17/2 + 27/2 = 30 birimkaredir.
Örnek 2. y = x² − 2x − 2 parabolü y = 13 doğrusunu K ve L noktalarında kesmektedir. Parabolün tepe noktası T olduğuna göre KLT üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
Çözüm. x² − 2x − 2 = 13 eşitliği x² − 2x − 15 = 0 denklemini verir; kökler −3 ve 5'tir. K(−3, 13) ve L(5, 13) olduğundan taban 8 birimdir. Tepe noktasının apsisi 1, ordinatı 1 − 2 − 2 = −3'tür. Yükseklik 13 − (−3) = 16 birim, alan 8·16/2 = 64 birimkaredir.
Örnek 3. y = x² − 4x + 3 parabolü ile y = x − 1 doğrusu A ve B noktalarında kesişmektedir. Parabolün tepe noktası T olduğuna göre ABT üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
Çözüm. x² − 4x + 3 = x − 1 eşitliğinden x² − 5x + 4 = 0 ve x = 1 ya da x = 4 bulunur; A(1, 0) ve B(4, 3) olur. Tepe noktası T(2, −1) noktasıdır. T noktasından geçen düşey doğru AB doğrusunu (2, 1) noktasında keser; düşey parçanın uzunluğu 1 − (−1) = 2 birimdir. A ile B noktalarının apsis farkı 3 olduğundan alan 2·3/2 = 3 birimkaredir.
Sık yapılan hatalar
- Yüksekliği hesaplarken eksenin altındaki noktanın ordinatını negatif alıp alanı küçük bulmak.
- Üçgen alanında yarıyla çarpmayı unutmak.
- Tabanı x ekseni üzerinde olmayan üçgende yüksekliği doğrudan bir ordinat sanmak.
- Önce A, B, C ve T noktalarının koordinatlarını bul.
- Tabanı eksene paralel üçgende yükseklik bir koordinat farkıdır.
- Yatay doğrunun parabolü kestiği iki nokta simetri eksenine göre simetriktir.
- Karmaşık şekilleri düşey doğrularla üçgen ve yamuklara ayır.