Konu anlatımı
Bir parabolün grafiğine bakarak katsayıları hakkında çok şey söylenebilir; tersine katsayılardan grafiğin kabaca biçimi çıkarılır. Bu alt başlıkta a, b ve c katsayılarının ve diskriminantın grafiğe etkisini, grafikten işaret okumayı ve bir parabolü çizmenin adımlarını göreceksin.
a katsayısı: yön ve açıklık
a > 0 ise kollar yukarı, a < 0 ise aşağı doğrudur. |a| büyüdükçe parabol daralır, küçüldükçe genişler. y = x², y = 3x² ve y = x²/2 parabollerinin üçünün de tepe noktası orijindir; x = 2 için değerleri sırasıyla 4, 12 ve 2 olur. Yani y = 3x² en dar, y = x²/2 en geniş olandır. y = −x² ise y = x² parabolünün x eksenine göre yansımasıdır.
c ve b katsayıları
c = f(0) olduğundan parabol y eksenini (0, c) noktasında keser: c pozitifse eksenin üst yarısında, negatifse alt yarısında, sıfırsa orijinde. b katsayısının işareti tepe noktasının yerinden okunur. Tepe noktasının apsisi −b/(2a) olduğundan tepe noktası y ekseninin sağındaysa a ile b ters işaretli, solundaysa aynı işaretlidir. b = 0 ise tepe noktası y ekseni üzerindedir ve grafik y eksenine göre simetriktir.
Diskriminant ve özel değerler
Parabol x eksenini iki noktada kesiyorsa Δ > 0, eksene teğetse Δ = 0, ekseni hiç kesmiyorsa Δ < 0 olur. Grafikten a + b + c gibi ifadelerin işareti de okunur, çünkü a + b + c = f(1), a − b + c = f(−1) ve 4a + 2b + c = f(2) değerleridir. İlgili apsiste grafik x ekseninin üstündeyse ifade pozitif, altındaysa negatif, eksen üzerindeyse sıfırdır.
Çizim adımları
Bir parabolü çizmek için kolların yönü, tepe noktası, eksenleri kestiği noktalar ve gerekiyorsa bir simetrik nokta belirlenir. f(x) = x² − 4x + 3 için kollar yukarı doğrudur; tepe noktası T(2, −1), kökler 1 ve 3, y eksenini kestiği nokta (0, 3) olur. (0, 3) noktasının x = 2 eksenine göre simetriği olan (4, 3) noktası da grafiktedir. Bu beş nokta parabolü çizmek için yeterlidir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Kolları aşağı doğru olan y = ax² + bx + c parabolünün tepe noktası analitik düzlemin ikinci bölgesindedir ve parabol y eksenini pozitif ordinatlı bir noktada kesmektedir. a, b, c ve Δ sayılarının işaretleri nedir?
Çözüm. Kollar aşağı doğru olduğundan a < 0'dır. Tepe noktası ikinci bölgede olduğundan apsisi negatiftir: −b/(2a) < 0. a negatif olduğu için bu eşitsizlik b < 0 verir; tepe noktası y ekseninin solunda olduğundan a ile b aynı işaretlidir. Parabol y eksenini pozitif tarafta kestiği için c > 0'dır. Tepe noktasının ordinatı pozitif ve kollar aşağı doğru olduğundan parabol x eksenini iki noktada keser: Δ > 0. Örnek: y = −x² − 2x + 3 parabolünün tepe noktası (−1, 4) noktasıdır.
Örnek 2. Kolları yukarı doğru olan y = ax² + bx + c parabolü x eksenini −3 ve 1 apsisli noktalarda kesmektedir. a + b + c, a − b + c ve 4a + 2b + c ifadelerinin işaretleri nedir?
Çözüm. a + b + c = f(1) değeridir ve 1 bir kök olduğundan sıfırdır. a − b + c = f(−1) değeridir; −1 köklerin arasındadır ve kollar yukarı doğru olduğundan parabol burada eksenin altındadır: ifade negatiftir. 4a + 2b + c = f(2) değeridir; 2 köklerin dışındadır ve parabol burada eksenin üstündedir: ifade pozitiftir.
Sık yapılan hatalar
- b katsayısının işaretini yalnızca tepe noktasının yerine bakarak, a katsayısının işaretini hesaba katmadan söylemek.
- c katsayısını tepe noktasının ordinatı sanmak; c, y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır.
- a + b + c ifadesinin f(1) olduğunu görmeyip katsayıları tek tek bulmaya çalışmak.
- a kolların yönünü ve açıklığını, c y eksenini kestiği noktayı belirler.
- Tepe noktası y ekseninin sağındaysa a ile b ters işaretlidir.
- a + b + c = f(1), a − b + c = f(−1).