Konu anlatımı
Bir parabol ile bir doğru iki noktada kesişebilir, tek noktada birbirine değebilir ya da hiç kesişmeyebilir. Bu alt başlıkta ortak noktaları bulmayı, üç durumu diskriminantla ayırt etmeyi ve eğimi ya da üzerindeki bir noktası verilen teğet doğruyu yazmayı göreceksin.
Ortak çözüm denklemi
y = ax² + bx + c parabolü ile y = mx + n doğrusunun ortak noktalarında iki ifade eşittir: ax² + bx + c = mx + n. Bütün terimler bir tarafa toplanınca ax² + (b − m)x + (c − n) = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri ortak noktaların apsisleridir; ordinatlar, apsisler doğru denkleminde yerine yazılarak bulunur.
Üç durum
Ortak çözüm denkleminin diskriminantı pozitifse doğru parabolü iki noktada keser, sıfırsa doğru parabole teğettir, negatifse ortak nokta yoktur. y = x² − 2x parabolü için y = 2x − 3 doğrusu x² − 4x + 3 = 0 denklemini verir; Δ = 4 > 0 olduğundan iki kesişim noktası vardır. y = 2x − 4 doğrusu (x − 2)² = 0 denklemini verir ve parabole (2, 0) noktasında teğettir. y = 2x − 5 doğrusu için Δ = 16 − 20 = −4 olur ve doğru parabolü kesmez.
Bu ayrım eğimi olan doğrular içindir. x = p gibi düşey bir doğru parabolü her zaman tek noktada keser, ama teğet değildir.
Teğet doğruyu yazmak
Eğimi verilen teğet için doğru y = mx + n biçiminde yazılır ve Δ = 0 koşulundan n bulunur. Parabolün dışındaki bir noktadan çizilen teğetler için doğru o noktadan geçecek biçimde, eğimi bilinmeyen m olacak şekilde yazılır; Δ = 0 koşulu bu kez m için ikinci dereceden bir denklem verir ve bu denklemin iki kökü iki ayrı teğetin eğimidir. Değme noktasının apsisi, Δ = 0 iken ortak çözüm denkleminin çakışık köküdür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. y = x² − 3x + 2 parabolü ile y = x − 1 doğrusunun kesişim noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm. x² − 3x + 2 = x − 1 eşitliği x² − 4x + 3 = 0 denklemini verir; kökler 1 ve 3'tür. Ordinatlar doğrudan bulunur: x = 1 için y = 0, x = 3 için y = 2. Kesişim noktaları (1, 0) ve (3, 2) olur. Aralarındaki uzaklık √((3 − 1)² + (2 − 0)²) = √8 = 2√2 birimdir.
Örnek 2. A(1, −3) noktasından y = x² parabolüne çizilen teğetlerin eğimleri ve değme noktaları nedir?
Çözüm. A noktasından geçen eğimi m olan doğru y = m(x − 1) − 3 biçimindedir. Parabolle eşitlenince x² − mx + m + 3 = 0 bulunur. Teğetlik için Δ = m² − 4(m + 3) = (m − 6)(m + 2) = 0, yani m = 6 ya da m = −2 olmalıdır. Çakışık kök x = m/2 olduğundan değme noktaları m = 6 için (3, 9), m = −2 için (−1, 1) noktalarıdır.
Örnek 3. y = x² − 2x + k parabolü ile y = 4x − 3 doğrusunun ortak noktası olmadığına göre k tam sayısı en az kaçtır?
Çözüm. Ortak çözüm denklemi x² − 6x + k + 3 = 0 olur. Ortak nokta olmaması için Δ < 0 olmalıdır: 36 − 4(k + 3) = 24 − 4k < 0, yani k > 6. En küçük tam sayı değeri 7'dir. k = 6 için Δ = 0 olur ve doğru parabole teğettir; bu durumda bir ortak nokta vardır.
Sık yapılan hatalar
- Ortak noktaların ordinatını bulmayı unutup yalnızca apsisleri yazmak.
- Kesişmeme koşulunu Δ ≤ 0 yazmak; Δ = 0 teğetliktir ve bir ortak nokta vardır.
- Bir noktadan çizilen teğetlerde yalnızca tek bir eğim bulup öbürünü kaçırmak.
- Parabol ile doğruyu eşitle, bütün terimleri bir tarafa topla.
- Δ > 0 iki nokta, Δ = 0 teğet, Δ < 0 ortak nokta yok.
- Teğetin değme noktasının apsisi ortak çözüm denkleminin çakışık köküdür.