Konu anlatımı
Taban ve yükseklikle alanı ve iki kenar ile aradaki açının sinüsüyle alanı TYT'den biliyorsun. AYT'de alan çoğu zaman bir köprüdür: aynı alanı iki farklı bağıntıyla yazıp bir yüksekliği ya da yarıçapı bulursun. Bu alt başlıkta sinüslü alanı kosinüs teoremiyle birlikte kullanmayı, Heron bağıntısını ve iç teğet ile çevrel çemberin yarıçaplarını içeren alan bağıntılarını göreceksin.
Sinüslü alan ve kosinüsten sinüse geçiş
A(ABC) = ½·b·c·sin A bağıntısında açı, iki kenarın arasındaki açıdır. Soruda açının yalnız kosinüsü verilmişse sinüsü sin² A + cos² A = 1 eşitliğinden bulursun. Üçgenin açıları 0° ile 180° arasında olduğundan sinüs her zaman pozitiftir; kosinüsün negatif olması yalnızca açının geniş olduğunu gösterir. cos A = −3/5 ise sin A = 4/5 olur.
Üç kenardan alan: Heron bağıntısı
Üç kenarı bilinen üçgende çevrenin yarısı u = (a + b + c)/2 ile gösterilirse A(ABC) = √(u·(u − a)·(u − b)·(u − c)) olur. Kenarları 7, 15 ve 20 olan üçgende u = 21 ve alan √(21·14·6·1) = √1764 = 42 birimkaredir. Aynı sonuca kosinüs teoremiyle de ulaşılır: 20'lik kenarın karşısındaki açının kosinüsü (49 + 225 − 400)/(2·7·15) = −3/5, sinüsü 4/5 ve alan ½·7·15·(4/5) = 42 olur. Heron bağıntısı bu yolu kısaltır.
İç teğet çember: A = u·r
İç teğet çemberin merkezi üç kenara r kadar uzaktadır. Merkezi köşelere birleştirince üçgen, tabanları a, b ve c, yükseklikleri r olan üç üçgene ayrılır; bu yüzden A(ABC) = r·(a + b + c)/2 = u·r olur. Kenarları 7, 15 ve 20 olan üçgende r = 42/21 = 2 birimdir. Dik kenarları b ve c, hipotenüsü a olan dik üçgende r = (b + c − a)/2 kısa yolu da kullanılır; kenarları 3, 4 ve 5 olan üçgende r = 1 birimdir.
Çevrel çember: A = a·b·c/(4R)
Sinüs teoremine göre sin A = a/(2R) olur. Bunu ½·b·c·sin A bağıntısında yerine yazarsan A(ABC) = a·b·c/(4R) bulunur. Kenarları 7, 15 ve 20 olan üçgende R = 7·15·20/(4·42) = 12,5 birimdir. Dik üçgende çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır ve R hipotenüsün yarısıdır. Bir kenar ile karşısındaki açı biliniyorsa R'yi alan hesaplamadan, doğrudan R = a/(2·sin A) ile bulursun.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Kenar uzunlukları 10 cm, 17 cm ve 21 cm olan üçgenin alanı kaç cm²'dir? En uzun kenara ait yükseklik ve iç teğet çemberin yarıçapı kaçar santimetredir?
Çözüm. u = (10 + 17 + 21)/2 = 24 cm'dir. Heron bağıntısıyla alan √(24·14·7·3) = √7056 = 84 cm² bulunur. En uzun kenara ait yükseklik için 21·h/2 = 84 yazılır; h = 8 cm'dir. İç teğet çemberin yarıçapı r = 84/24 = 3,5 cm olur.
Örnek 2. ABC üçgeninde |AB| = 7 cm, |AC| = 15 cm ve m(BAC) = 60°'dir. Üçgenin iç teğet çemberinin ve çevrel çemberinin yarıçapları kaçar santimetredir?
Çözüm. Kosinüs teoremiyle |BC|² = 49 + 225 − 2·7·15·(1/2) = 169 ve |BC| = 13 cm'dir. Alan ½·7·15·sin 60° = 105√3/4 cm², çevrenin yarısı u = 35/2 cm'dir. A(ABC) = u·r bağıntısından r = (105√3/4)/(35/2) = 3√3/2 cm bulunur. Çevrel çember için 2R = |BC|/sin 60° = 13/(√3/2) = 26√3/3, yani R = 13√3/3 cm'dir.
Örnek 3. ABC üçgeninde |AB| = 10 cm, |AC| = 12 cm ve cos A = 3/5 olduğuna göre üçgenin alanı kaç cm²'dir? B köşesinden [AC] kenarına inen yükseklik kaç santimetredir?
Çözüm. sin² A = 1 − 9/25 = 16/25 ve sinüs pozitif olduğundan sin A = 4/5 olur. Alan ½·10·12·(4/5) = 48 cm²'dir. [AC] kenarına ait yükseklik için 12·h/2 = 48 yazılır; h = 8 cm bulunur. Kosinüs teoremiyle |BC|² = 100 + 144 − 144 = 100 çıktığından |BC| = |AB| = 10 cm'dir; üçgen ikizkenardır ve bu yükseklik [AC] kenarını ortalar.
Sık yapılan hatalar
- Heron bağıntısında u yerine çevrenin tamamını almak.
- A = u·r bağıntısındaki r'yi çevrel çemberin yarıçapı sanmak; r iç teğet çemberin yarıçapıdır.
- Kosinüsten sinüse geçerken sinüsü negatif almak; üçgenin açılarının sinüsü pozitiftir.
- A = a·b·c/(4R) bağıntısında paydadaki 4 çarpanını unutmak.
- A(ABC) = ½·b·c·sin A = √(u·(u − a)·(u − b)·(u − c)).
- A(ABC) = u·r; r iç teğet çemberin yarıçapı, u çevrenin yarısıdır.
- A(ABC) = a·b·c/(4R); R çevrel çemberin yarıçapıdır.
- Aynı alanı iki bağıntıyla yaz; bilinmeyen yükseklik ya da yarıçap eşitlikten çıkar.