Konu anlatımı
Bir üçgende kenarlar, karşılarındaki açıların sinüsleriyle orantılıdır. Bu orantı, iki açısı ve bir kenarı bilinen üçgende öbür kenarları, bir kenarı ve karşısındaki açısı bilinen üçgende çevrel çemberin yarıçapını verir. Bu alt başlıkta teoremi, alan yardımıyla nasıl elde edildiğini, çevrel çemberle bağını ve sinüsten açı bulurken dikkat etmen gereken durumu göreceksin.
Teorem
ABC üçgeninde a/sin A = b/sin B = c/sin C olur. Bunu görmek için alanı üç yoldan yaz: ½·b·c·sin A = ½·a·c·sin B = ½·a·b·sin C. Her ifadeyi ½·a·b·c ile bölersen sin A/a = sin B/b = sin C/c bulunur. Orantı kenarların oranını da verir: a : b : c = sin A : sin B : sin C. Açıları 30°, 60° ve 90° olan üçgende kenarlar 1/2 : √3/2 : 1, yani 1 : √3 : 2 oranındadır.
Çevrel çemberin yarıçapı
Üçgenin üç köşesinden geçen çembere çevrel çember denir; yarıçapı R ise sinüs teoremindeki ortak oran çapa eşittir: a/sin A = 2R. Nedenini görmek için A açısı dar olsun ve B'den geçen çapın öbür ucu D olsun. BCD üçgeninde çapı gören C açısı 90°'dir; D ile A aynı yayı gören çevre açılar olduğundan m(BDC) = m(BAC) olur. BCD dik üçgeninde sin D = |BC|/|BD| = a/(2R) yazılır. A açısı genişse D açısı 180° − m(A) olur ve sinüsü yine sin A'dır; m(A) = 90° ise [BC] kenarının kendisi çaptır. Bu yüzden R = a/(2·sin A) bağıntısı her üçgende geçerlidir.
İki açı ve bir kenar
İki açı biliniyorsa üçüncü açı 180°'den çıkarılarak bulunur ve her kenar sinüs teoremiyle hesaplanır. m(A) = 30°, m(B) = 45° ve a = 5 ise b = 5·sin 45°/sin 30° = 5√2 olur. Açılardan biri 75° ya da 105° ise sin 75° = sin 105° = (√6 + √2)/4 değeri gerekir; bu değer toplam formülüyle bulunur. Soruda bu açının karşısındaki kenar istenmiyorsa bu değere gerek kalmaz; öbür iki kenar birbirine doğrudan oranlanır.
Sinüsten açı bulmak
İki kenar ve bunlardan birinin karşısındaki açı verilirse sinüs teoremi öbür açının sinüsünü verir; ama sin x = sin(180° − x) olduğundan iki aday çıkar. Hangi adayın geçerli olduğunu açıların toplamı ve büyük kenar karşısında büyük açı kuralı belirler. a = 4√3, b = 4 ve m(A) = 60° ise sin B = 4·sin 60°/(4√3) = 1/2 olur; B açısı 30° ya da 150° olabilir. 150° alınırsa A ile toplamı 180°'yi geçer; bu yüzden m(B) = 30° ve m(C) = 90°'dir. a = 6, b = 6√2 ve m(A) = 30° ise sin B = √2/2 bulunur; bu kez B açısı 45° de 135° de olabilir ve iki farklı üçgen çizilebilir. Böyle sorularda B açısının dar ya da geniş olduğu ayrıca verilir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde m(A) = 60°, m(B) = 45° ve |BC| = 6√3 cm'dir. |AC| kaç santimetredir? Üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç santimetredir?
Çözüm. [BC] kenarı A açısının, [AC] kenarı B açısının karşısındadır. |BC|/sin 60° = 6√3/(√3/2) = 12 olur. Sinüs teoremine göre |AC|/sin 45° = 12 ve |AC| = 12·(√2/2) = 6√2 cm'dir. Ortak oran 2R'ye eşit olduğundan 2R = 12 ve R = 6 cm bulunur.
Örnek 2. Yarıçapı 5√2 cm olan bir çemberin üzerinde A, B ve C noktaları alınıyor. m(BAC) = 135° olduğuna göre |BC| kaç santimetredir?
Çözüm. Çember, ABC üçgeninin çevrel çemberidir. |BC|/sin A = 2R olduğundan |BC| = 2·5√2·sin 135° yazılır. sin 135° = sin 45° = √2/2 olur; geniş açının sinüsü pozitiftir. |BC| = 10√2·(√2/2) = 10 cm bulunur.
Örnek 3. ABC üçgeninde sin A : sin B : sin C = 4 : 5 : 6 olduğuna göre cos C kaçtır?
Çözüm. Kenarlar karşılarındaki açıların sinüsleriyle orantılı olduğundan a = 4k, b = 5k ve c = 6k yazılır. Kosinüs teoremiyle cos C = (a² + b² − c²)/(2·a·b) = (16k² + 25k² − 36k²)/(2·4k·5k) = 5k²/(40k²) = 1/8 bulunur. Kosinüs pozitif olduğundan en büyük açı olan C dardır; üçgen dar açılıdır.
Sık yapılan hatalar
- Kenarı karşısındaki açının değil, komşu olduğu açının sinüsüyle eşleştirmek.
- Sinüsten açı bulurken 180° − x adayını hiç düşünmemek ya da denetlemeden kabul etmek.
- a/sin A oranını R'ye eşitlemek; bu oran çapa, yani 2R'ye eşittir.
- Geniş açının sinüsünü negatif almak; 0° ile 180° arasındaki açıların sinüsü pozitiftir.
- a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R.
- Kenarlar, karşılarındaki açıların sinüsleriyle orantılıdır.
- Sinüsten açı bulunca x ve 180° − x adaylarını açıların toplamıyla denetle.