Konu anlatımı
Kenarortayın karşı kenarı ortaladığını ve üç kenarortayın ağırlık merkezinde 2 : 1 oranında kesiştiğini TYT'den biliyorsun. AYT'de bunlara kenarortayın uzunluğunu kenarlara bağlayan bağıntı eklenir. Bu alt başlıkta kenarortay bağıntısını, kosinüs teoremiyle nasıl elde edildiğini ve dik kesişen kenarortaylardaki kısa yolu göreceksin.
Kenarortay bağıntısı
ABC üçgeninde D noktası [BC] kenarının orta noktası olsun; a = |BC|, b = |AC| ve c = |AB|. Kenarortayın uzunluğu 2·|AD|² = b² + c² − a²/2 bağıntısıyla bulunur; aynı bağıntı |AD|² = (2b² + 2c² − a²)/4 biçiminde de yazılır. Kenarları 7, 11 ve 12 olan üçgende 12'lik kenara ait kenarortay için |AD|² = (2·49 + 2·121 − 144)/4 = 49 ve |AD| = 7 olur. Bağıntı dört uzunluğu birbirine bağlar: üç kenar ve kenarortaydan herhangi üçü bilinirse dördüncüsü bulunur.
Neden doğru?
ADB ve ADC açıları bütünler olduğundan kosinüsleri birbirinin ters işaretlisidir. ABD üçgeninde kosinüs teoremi c² = |AD|² + a²/4 − 2·|AD|·(a/2)·cos(ADB), ACD üçgeninde b² = |AD|² + a²/4 + 2·|AD|·(a/2)·cos(ADB) verir. İki eşitliği toplarsan kosinüslü terimler birbirini götürür ve b² + c² = 2·|AD|² + a²/2 kalır. Yani kenarortay bağıntısı, kosinüs teoreminin iki kez uygulanmasıdır; bağıntıyı unutursan aynı yolu izleyerek sonuca ulaşırsın.
Dik üçgen ve kareler toplamı
m(A) = 90° ise b² + c² = a² olduğundan bağıntı |AD|² = a²/4 verir: hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır. Üç kenarortay için bağıntıyı ayrı ayrı yazıp toplarsan kenarortayların kareleri toplamının, kenarların kareleri toplamının dörtte üçü olduğunu görürsün: |AD|² + |BE|² + |CF|² = 3·(a² + b² + c²)/4. Burada E ve F noktaları [AC] ve [AB] kenarlarının orta noktalarıdır.
Dik kesişen kenarortaylar
B ve C köşelerinden çizilen kenarortaylar G ağırlık merkezinde dik kesişiyorsa b² + c² = 5a² olur; tersine, b² + c² = 5a² ise bu iki kenarortay diktir. Bu durumda BGC üçgeni G'de dik açılıdır ve D noktası bu üçgenin hipotenüsünün orta noktasıdır; bu yüzden |GD| = a/2 ve |AD| = 3·|GD| = 3a/2 bulunur. Ağırlık merkezinin köşeye uzaklığı her zaman kenarortayın üçte ikisidir: |AG| = 2·|AD|/3.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde |AB| = 9 cm, |AC| = 13 cm ve |BC| = 10 cm'dir. G ağırlık merkezi olduğuna göre |AG| kaç santimetredir?
Çözüm. A köşesinden çizilen kenarortay [AD] olsun; D, [BC] kenarının orta noktasıdır. |AD|² = (2·81 + 2·169 − 100)/4 = (162 + 338 − 100)/4 = 100 olduğundan |AD| = 10 cm'dir. Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler: |AG| = 2·10/3 = 20/3 cm bulunur.
Örnek 2. ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 14 cm ve A köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu 7 cm'dir. |BC| kaç santimetredir?
Çözüm. |BC| = a olsun. Kenarortay bağıntısıyla 2·7² = 8² + 14² − a²/2, yani 98 = 260 − a²/2 yazılır. Buradan a²/2 = 162, a² = 324 ve a = 18 cm bulunur. 8 + 14 > 18 olduğundan üçgen eşitsizliği sağlanır.
Örnek 3. ABC üçgeninde B ve C köşelerinden çizilen kenarortaylar birbirine diktir. |AB| = 6 cm ve |AC| = 8 cm olduğuna göre |BC| ve A köşesinden çizilen kenarortay kaçar santimetredir?
Çözüm. Kenarortaylar dik olduğundan b² + c² = 5a² kısa yolu kullanılır: 64 + 36 = 5a², a² = 20 ve |BC| = 2√5 cm'dir. A'dan çizilen kenarortay 3a/2 = 3√5 cm olur. Kenarortay bağıntısı aynı sonucu verir: (2·64 + 2·36 − 20)/4 = 45 ve √45 = 3√5.
Sık yapılan hatalar
- Bağıntıda a²/2 yerine a² yazmak ya da 2·|AD|² yerine |AD|² almak.
- Kenarortayın ait olduğu kenarı karıştırmak; a, kenarortayın ortaladığı kenardır.
- b² + c² = 5a² kısa yolunu kenarortaylar dik değilken kullanmak.
- Ağırlık merkezinin köşeye uzaklığını kenarortayın üçte biri almak; doğrusu üçte ikisidir.
- 2·|AD|² = b² + c² − a²/2; a, ortalanan kenardır.
- B ve C'den çizilen kenarortaylar dikse b² + c² = 5a² ve |AD| = 3a/2 olur.
- |AG| = 2·|AD|/3; hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır.