Konu anlatımı
Benzerlik kurallarını, temel orantıyı ve benzer üçgenlerde alanların benzerlik oranının karesiyle orantılı olduğunu TYT'den biliyorsun. AYT'de bu bilgi daha çok tersinden ve birkaç paralel doğruyla birlikte sorulur. Bu alt başlıkta paralellerle ayrılan şeritlerin alanlarını, üçgeni eş alanlı bölgelere ayıran paralelleri ve üçgenin içine yerleştirilen dikdörtgenleri göreceksin.
Benzerlik oranı ve alan
ABC üçgeninde [BC] kenarına paralel bir doğru [AB] kenarını D'de, [AC] kenarını E'de keserse ADE ∼ ABC olur. Benzerlik oranı k = |AD|/|AB| ise uzunluklar k, alanlar k² oranındadır. AYT sorularında bu bilgi genellikle tersinden kullanılır: alanlar verilir, uzunluk oranı istenir. Alanların oranı 9/25 ise benzerlik oranı 3/5 olur. Oran her zaman tepedeki küçük üçgen ile büyük üçgen arasında kurulur; alttaki dörtgen büyük üçgene benzer değildir.
Paralellerle ayrılan şeritler
[AB] kenarı üzerinde A'dan başlayarak sırasıyla D ve F noktaları alınsın ve bu noktalardan [BC] kenarına paraleller çizilsin. Tepesi A olan üç üçgenin alanları |AD|², |AF|² ve |AB|² ile orantılıdır; şeritlerin alanları bu karelerin farklarıdır. |AD| : |DF| : |FB| = 1 : 1 : 1 ise üçgenlerin alanları 1 : 4 : 9 ile, tepeden tabana doğru parçaların alanları 1 : 3 : 5 ile orantılıdır. |AD| : |DF| : |FB| = 2 : 1 : 3 ise üçgenler 4 : 9 : 36, parçalar 4 : 5 : 27 oranında olur.
Eş alanlı bölgeler
[BC] kenarına paralel bir doğru üçgeni alanları eşit iki bölgeye ayırıyorsa tepedeki üçgenin alanı bütünün yarısıdır ve benzerlik oranı 1/√2 = √2/2 olur. Bu paralel yan kenarı ortalamaz; orta noktalardan geçen paralel alanı 1 : 3 oranında böler. Üçgen paralellerle alanları eşit n bölgeye ayrılırsa tepesi A olan üçgenlerin alanları 1 : 2 : 3 : ... : n ile, paralellerin kenar üzerindeki A'ya uzaklıkları √1 : √2 : √3 : ... : √n ile orantılıdır.
Üçgenin içindeki kare ve dikdörtgen
Bir kenarı [BC] üzerinde, öbür iki köşesi [AB] ve [AC] kenarlarında olan bir dikdörtgenin üst kenarı tabana paraleldir; tepede kalan üçgen büyük üçgene benzer. Taban a, tabana ait yükseklik h, dikdörtgenin tabandaki kenarı y ve yüksekliği x ise tepedeki üçgenin tabanı y, yüksekliği h − x olur ve y/a = (h − x)/h yazılır. Dikdörtgen kare ise y = x alınır ve x = a·h/(a + h) bulunur. B ya da C açısı genişse bu yerleşim yapılamaz; çünkü dikdörtgenin alt köşelerinden biri [BC] kenarının dışına düşer.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde [BC] kenarına paralel üç doğru, üçgeni alanları eşit dört bölgeye ayırıyor. |AB| = 12 cm olduğuna göre bu doğruların [AB] kenarını kestiği noktaların A köşesine uzaklıkları kaçar santimetredir?
Çözüm. Tepesi A olan üçgenlerin alanları bütünün 1/4, 2/4 ve 3/4 katıdır. Benzerlik oranları bu sayıların karekökleridir: 1/2, √2/2 ve √3/2. Noktaların A köşesine uzaklıkları 12·(1/2) = 6 cm, 12·(√2/2) = 6√2 cm ve 12·(√3/2) = 6√3 cm olur. Yalnızca ilk paralel kenarı orta noktasında keser; çünkü o paralelin üstünde alanın dörtte biri kalır.
Örnek 2. ABC üçgeninde D ve F noktaları [AB] kenarı üzerinde, E ve G noktaları [AC] kenarı üzerindedir; DE ∥ FG ∥ BC'dir. A, D, F, B noktaları bu sırayla dizilmiştir; |AD| = 3 cm, |DF| = 2 cm ve |FB| = 5 cm'dir. DFGE dörtgeninin alanı 32 cm² olduğuna göre ABC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. |AD| = 3, |AF| = 5 ve |AB| = 10 olduğundan ADE, AFG ve ABC üçgenlerinin alanları 9 : 25 : 100 ile orantılıdır; alanlara 9t, 25t ve 100t diyelim. DFGE dörtgeni, AFG üçgeninden ADE üçgeni çıkarılınca kalır: 25t − 9t = 16t = 32 ve t = 2 bulunur. A(ABC) = 100·2 = 200 cm²'dir.
Örnek 3. B ve C açıları dar olan ABC üçgeninde |BC| = 24 cm ve A'dan [BC] kenarına inen yükseklik 12 cm'dir. Bir kenarı [BC] üzerinde, öbür iki köşesi [AB] ve [AC] kenarları üzerinde olan dikdörtgenin tabandaki kenarı yüksekliğinin 2 katıdır. Bu dikdörtgenin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. Dikdörtgenin yüksekliği x, tabandaki kenarı 2x olsun. Üst kenar tabana paralel olduğundan tepedeki üçgen ABC üçgenine benzerdir; tabanı 2x, yüksekliği 12 − x olur. 2x/24 = (12 − x)/12 eşitliğinden x = 12 − x ve x = 6 cm bulunur. Dikdörtgenin kenarları 12 cm ve 6 cm, alanı 72 cm²'dir.
Sık yapılan hatalar
- Alan oranını benzerlik oranına eşit almak; alanlar oranın karesiyle orantılıdır.
- Benzerlik oranını |AD|/|DB| ile kurmak; oran |AD|/|AB| ile kurulur.
- Alanı ikiye bölen paralelin kenarı ortaladığını sanmak; orta noktalardan geçen paralel alanı 1 : 3 oranında böler.
- Şeridin alanını bulurken karelerin farkını almayıp şeridi küçük üçgenle doğrudan oranlamak.
- DE ∥ BC ve k = |AD|/|AB| ise A(ADE)/A(ABC) = k² olur.
- Şeritlerin alanları, kenar oranlarının karelerinin farkıyla orantılıdır.
- Eş alanlı n bölge için köşeye uzaklıklar √1 : √2 : ... : √n oranındadır.
- Tabana oturan karenin kenarı x = a·h/(a + h) olur.