Konu anlatımı
Öklid bağıntılarını ve özel dik üçgenlerin kenar oranlarını TYT'den biliyorsun. AYT'de aynı bağıntılar daha az hazır verilir: yükseklik ve hipotenüsten parçaları bulman ya da geniş açılı bir üçgenin dışına dik üçgen kurman gerekir. Bu alt başlıkta Öklid bağıntılarının hangi koşulda geçerli olduğunu, sonuçlarını ve özel üçgenlerin AYT'deki kullanımını göreceksin.
Bağıntılar ve koşulu
m(A) = 90° olan ABC üçgeninde A'dan hipotenüse inen yükseklik [AH] olsun; |BH| = p, |HC| = k, |AH| = h, |AB| = c, |AC| = b ve |BC| = a = p + k. Bu durumda h² = p·k, c² = p·a ve b² = k·a olur; alanı iki yoldan yazınca h = b·c/a bulunur. Öklid bağıntıları yalnızca dik üçgende ve yalnızca dik açının köşesinden hipotenüse inen yükseklik için geçerlidir. Dik açı yoksa ya da yükseklik hipotenüse inmiyorsa bu bağıntıların hiçbiri kullanılamaz; o zaman Pisagor ya da kosinüs teoremine dönersin.
Sonuçlar
Dik kenar bağıntılarını birbirine bölersen c²/b² = p/k çıkar: yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçalar, komşu oldukları dik kenarların kareleriyle orantılıdır. h = b·c/a eşitliğinin karesini alıp a² = b² + c² yazarsan 1/h² = 1/b² + 1/c² elde edilir. Hipotenüs ve yükseklik verilmişse parçalar, toplamı a ve çarpımı h² olan iki sayıdır; bu sayılar x² − a·x + h² = 0 denkleminin kökleridir. Bağıntının tersi de doğrudur: yüksekliğin ayağı H noktası B ile C arasındaysa ve |AH|² = |BH|·|HC| ise A açısı diktir.
Özel dik üçgenler ve geniş açılar
30°-60°-90° üçgeninde kenarlar 1 : √3 : 2, 45°-45°-90° üçgeninde 1 : 1 : √2 oranındadır. AYT'de bu üçgenler çoğunlukla hazır verilmez; 120°, 135° ya da 150°'lik bir açının bütünleri kullanılarak dışarıda kurulur. m(B) = 120° olan ABC üçgeninde A'dan BC doğrusuna inen dikmenin ayağı H, B'nin ötesine düşer; ABH üçgeninde m(ABH) = 60° olduğundan |BH| = |AB|/2 ve |AH| = |AB|·√3/2 olur. Sonra AHC dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanır.
Yükseklikle ilgili iki kısa bilgi
30°-60°-90° üçgeninde hipotenüse inen yükseklik hipotenüsü 1 : 3 oranında böler; çünkü parçalar dik kenarların kareleriyle, yani 1 : 3 ile orantılıdır. Açıları 15°, 75° ve 90° olan üçgende hipotenüse ait yükseklik hipotenüsün dörtte biridir. Bunu görmek için hipotenüse ait kenarortayı çiz: kenarortay hipotenüsün yarısıdır ve hipotenüsle 30°'lik açı yapar; yükseklik bu kenarortayın yarısı olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. m(A) = 90° olan ABC üçgeninde [AH] hipotenüse inen yüksekliktir. |AH| = 12 cm, |BC| = 25 cm ve |AB| < |AC| olduğuna göre |AB| kaç santimetredir?
Çözüm. |BH| = x dersek |HC| = 25 − x olur ve Öklid bağıntısıyla x·(25 − x) = 144 yazılır. x² − 25x + 144 = 0 denkleminin kökleri 9 ve 16 olur. Kısa dik kenar kısa parçaya komşu olduğundan |BH| = 9 cm'dir. |AB|² = |BH|·|BC| = 9·25 = 225 ve |AB| = 15 cm bulunur. Kontrol: |AC| = 20 cm ve 15² + 20² = 25².
Örnek 2. m(A) = 90° olan ABC üçgeninde [AH] hipotenüse inen yüksekliktir; |BH| = 2 cm ve |HC| = 6 cm'dir. |AH| ve |AB| kaçar santimetredir? m(C) kaç derecedir?
Çözüm. |AH|² = 2·6 = 12 olduğundan |AH| = 2√3 cm'dir. |BC| = 8 cm ve |AB|² = |BH|·|BC| = 2·8 = 16 olduğundan |AB| = 4 cm bulunur. [AB] dik kenarı hipotenüsün yarısıdır; bu yüzden karşısındaki C açısı 30°'dir. Parçaların 2 : 6 = 1 : 3 oranında olması da 30°-60°-90° üçgenine uygundur.
Örnek 3. ABC üçgeninde |AB| = 5√2 cm, |BC| = 7 cm ve m(ABC) = 135°'dir. |AC| kaç santimetredir? Üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. A'dan BC doğrusuna inen dikmenin ayağı H, B'nin ötesindedir ve m(ABH) = 180° − 135° = 45°'dir. ABH üçgeni 45°-45°-90° üçgenidir: |AH| = |BH| = 5√2/√2 = 5 cm. |HC| = 5 + 7 = 12 cm olduğundan AHC dik üçgeninde |AC| = √(25 + 144) = 13 cm bulunur. Alan |BC|·|AH|/2 = 7·5/2 = 17,5 cm²'dir.
Sık yapılan hatalar
- Öklid bağıntılarını dik olmayan üçgende ya da hipotenüse inmeyen bir yükseklikle kullanmak.
- c² = p·a bağıntısında dik kenarı, hipotenüste kendisine komşu olmayan parçayla eşleştirmek.
- h² = p·k yerine h = p·k yazmak.
- Geniş açılı üçgende yüksekliğin ayağını kenarın üzerinde aramak; ayak kenarın uzantısındadır.
- h² = p·k, c² = p·a, b² = k·a ve h = b·c/a; yalnız dik üçgende ve hipotenüse inen yükseklikle.
- p/k = c²/b² ve 1/h² = 1/b² + 1/c².
- 120°, 135° ya da 150° gördüğünde kenarı uzat ve dışarıda özel dik üçgen kur.