Konu anlatımı
İki kenarı ve bu kenarların arasındaki açısı bilinen bir üçgende üçüncü kenarı Pisagor teoremiyle bulamazsın; çünkü üçgen dik olmak zorunda değildir. Kosinüs teoremi, Pisagor teoremini bütün üçgenlere genişletir. Bu alt başlıkta teoremi, nereden geldiğini, kenarlardan açı bulmayı ve yükseklik sorularındaki kullanımını göreceksin.
Teorem
ABC üçgeninde a = |BC|, b = |AC| ve c = |AB| olsun. Her üçgende a² = b² + c² − 2·b·c·cos A olur. Aynı bağıntı öbür kenarlar için b² = a² + c² − 2·a·c·cos B ve c² = a² + b² − 2·a·b·cos C biçiminde yazılır. Kural şudur: bulmak istediğin kenarın karşısındaki açının kosinüsü, o açıyı oluşturan iki kenarla çarpılır. m(A) = 90° ise cos A = 0 olur ve bağıntı Pisagor teoremine dönüşür. Açı genişse kosinüs negatiftir: cos 120° = −1/2, cos 135° = −√2/2 ve cos 150° = −√3/2. Bu durumda −2·b·c·cos A terimi pozitif olur ve karşı kenar, aynı iki kenarla kurulan dik üçgenin hipotenüsünden daha uzun çıkar.
Neden doğru?
C köşesinden AB doğrusuna inen dikmenin ayağı H olsun. A açısı darsa ACH dik üçgeninde |AH| = b·cos A ve |CH| = b·sin A olur; H ile B arasındaki uzaklık, c − b·cos A sayısının mutlak değeridir. BCH dik üçgeninde Pisagor teoremi a² = (b·sin A)² + (c − b·cos A)² verir. Parantezleri açıp sin² A + cos² A = 1 eşitliğini kullanırsan a² = b² + c² − 2·b·c·cos A bulunur. A açısı genişse H noktası A'nın ötesine düşer ve |BH| = c + b·cos(180° − A) = c − b·cos A olur; sonuç değişmez.
Açıyı bulmak ve açının türü
Üç kenar biliniyorsa cos A = (b² + c² − a²)/(2·b·c) yazılır. Kenarları 7, 13 ve 15 olan üçgende 13'lük kenarın karşısındaki açının kosinüsü (49 + 225 − 169)/(2·7·15) = 105/210 = 1/2 olduğundan bu açı 60°'dir. Kosinüsün işareti açının türünü de söyler: a² < b² + c² ise A açısı dar, a² = b² + c² ise dik, a² > b² + c² ise geniştir. Bir üçgenin dar açılı olup olmadığını anlamak için yalnızca en uzun kenara bakman yeterlidir. Kenarları 4, 5 ve 6 olan üçgende 36 < 16 + 25 olduğundan üçgen dar açılıdır; kenarları 4, 5 ve 7 olan üçgende 49 > 41 olduğundan 7'lik kenarın karşısındaki açı geniştir.
Zincirin halkası olarak kosinüs teoremi
Kosinüs teoremi çoğu soruda bir ara adımdır. İki kenar ve aradaki açı verilip üçüncü kenara ait yükseklik sorulursa önce kosinüs teoremiyle üçüncü kenarı, sonra ½·b·c·sin A ile alanı bulur, alanı bu kenarı taban alarak yeniden yazarsın. Bir kenarın üzerindeki D noktasına çizilen [AD] doğru parçası sorulursa önce büyük üçgende B açısının kosinüsünü bulur, sonra aynı kosinüsü ABD üçgeninde kullanırsın; çünkü B açısı iki üçgende ortaktır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde |AB| = 16 cm, |AC| = 21 cm ve m(BAC) = 60°'dir. |BC| kaç santimetredir? A köşesinden [BC] kenarına inen yükseklik kaç santimetredir?
Çözüm. Kosinüs teoremiyle |BC|² = 256 + 441 − 2·16·21·(1/2) = 697 − 336 = 361 ve |BC| = 19 cm bulunur. Alan ½·16·21·sin 60° = 168·(√3/2) = 84√3 cm²'dir. Aynı alan 19·h/2 olduğundan h = 168√3/19 cm'dir. En uzun kenar 21 cm'dir ve 441 < 256 + 361 olduğundan üçgen dar açılıdır; yüksekliğin ayağı [BC] kenarının üzerindedir.
Örnek 2. ABC üçgeninde |AB| = 6 cm, |BC| = 9 cm ve |AC| = 12 cm'dir. D noktası [BC] kenarı üzerinde ve |BD| = 4 cm'dir. |AD| kaç santimetredir?
Çözüm. Önce ABC üçgeninde B açısının kosinüsünü buluruz: cos B = (36 + 81 − 144)/(2·6·9) = −27/108 = −1/4. Kosinüs negatif çıktığı için B açısı geniştir. ABD üçgeninde aynı açı kullanılır: |AD|² = 36 + 16 − 2·6·4·(−1/4) = 52 + 12 = 64. Buradan |AD| = 8 cm bulunur.
Örnek 3. ABC üçgeninde |AB| = 2 cm, |AC| = 3√2 cm ve |BC| = √10 cm'dir. m(BAC) kaç derecedir?
Çözüm. A açısının karşısındaki kenar [BC] kenarıdır. cos A = (|AB|² + |AC|² − |BC|²)/(2·|AB|·|AC|) = (4 + 18 − 10)/(2·2·3√2) = 12/(12√2) = √2/2 olur. Kosinüsü √2/2 olan açı 45° olduğundan m(BAC) = 45°'dir.
Sık yapılan hatalar
- Geniş açıda kosinüsün negatif olduğunu unutup 2·b·c·cos A terimini çıkarmak; cos 120° = −1/2 olduğundan bu terim toplanır.
- Bağıntıdaki açının, yazılan iki kenarın arasındaki açı olup olmadığına bakmamak.
- Üçgenin dar açılı olduğunu anlamak için en uzun kenar yerine rastgele bir kenarı denemek.
- Kenarın karesini bulduktan sonra karekök almayı unutmak.
- a² = b² + c² − 2·b·c·cos A; açı, iki kenarın arasındaki açıdır.
- cos A = (b² + c² − a²)/(2·b·c); kosinüsün işareti açının dar ya da geniş olduğunu gösterir.
- Yükseklik sorusunda sıra: kosinüsle kenar, sinüsle alan, alandan yükseklik.