Konu anlatımı
İç açıortayın karşı kenarı komşu kenarların oranında böldüğünü TYT'den biliyorsun. AYT soruları bir adım ileri gider ve açıortayın kendi uzunluğunu sorar. Bu alt başlıkta iki açıortay teoremini kısaca hatırlayacak, iç ve dış açıortay uzunluklarını veren bağıntıları ve alan yardımıyla açıortay bulmayı göreceksin.
İki teorem
ABC üçgeninde A'daki iç açıortay [BC] kenarını D noktasında keserse |BD|/|DC| = |AB|/|AC| olur. |AB| ≠ |AC| iken A'daki dış açıortay BC doğrusunu E noktasında keser ve |EB|/|EC| = |AB|/|AC| olur; E noktası kısa kenarın ucundaki köşenin ötesindedir. |AB| = |AC| ise dış açıortay BC doğrusuna paraleldir ve E noktası oluşmaz. Aynı köşedeki iç ve dış açıortaylar birbirine dik olduğundan DAE üçgeni A'da dik açılıdır.
İç açıortayın uzunluğu
b = |AC|, c = |AB|, |BD| = m ve |DC| = n olsun. İç açıortayın uzunluğu |AD|² = b·c − m·n bağıntısını sağlar: açıyı oluşturan kenarların çarpımından, karşı kenarda ayrılan parçaların çarpımı çıkarılır. Kenarları c = 9, b = 18 ve a = 21 olan üçgende parçalar 9 : 18 = 1 : 2 oranındadır; m = 7 ve n = 14 olur. |AD|² = 9·18 − 7·14 = 162 − 98 = 64 ve |AD| = 8 bulunur.
Alan yardımıyla açıortay
Açıortay A açısını iki eş açıya böldüğü için ABD ve ADC üçgenlerinin alanları toplamı ABC üçgeninin alanına eşittir: ½·c·|AD|·sin(A/2) + ½·b·|AD|·sin(A/2) = ½·b·c·sin A. m(A) = 120° ise sin 60° iki tarafta sadeleşir ve |AD| = b·c/(b + c) kalır. m(A) = 90° ise sin 45° = √2/2 ve sin 90° = 1 olduğundan |AD| = b·c·√2/(b + c) bulunur. m(A) = 60° ise |AD| = b·c·√3/(b + c) olur. Bu yol, parçaları bulmayı gerektirmediği için açının verildiği sorularda daha kısadır.
Dış açıortayın uzunluğu
|EB| = x ve |EC| = y ise dış açıortayın uzunluğu |AE|² = x·y − b·c bağıntısını sağlar; iç açıortaydaki çıkarmanın sırası değişir. c = 10, b = 15 ve a = 7 olan üçgende E noktası B'nin ötesindedir; x/(x + 7) = 10/15 eşitliğinden x = 14 ve y = 21 bulunur. |AE|² = 14·21 − 10·15 = 144 ve |AE| = 12 olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde |AB| = 12 cm, |AC| = 15 cm ve |BC| = 18 cm'dir. A'daki iç açıortay [BC] kenarını D noktasında kestiğine göre |AD| kaç santimetredir?
Çözüm. |BD|/|DC| = 12/15 = 4/5 olduğundan |BD| = 4k ve |DC| = 5k yazılır; 9k = 18 eşitliğinden |BD| = 8 cm ve |DC| = 10 cm bulunur. Açıortay uzunluğu bağıntısıyla |AD|² = 12·15 − 8·10 = 180 − 80 = 100 ve |AD| = 10 cm'dir.
Örnek 2. ABC üçgeninde |AB| = 10 cm, |AC| = 15 cm ve m(BAC) = 120°'dir. A açısının açıortayı [BC] kenarını D noktasında kestiğine göre |AD| kaç santimetredir?
Çözüm. Açıortay 120°'lik açıyı iki 60°'lik açıya böler. Alanları yazarız: ½·10·15·sin 120° = ½·10·|AD|·sin 60° + ½·15·|AD|·sin 60°. sin 120° = sin 60° olduğundan sinüsler sadeleşir: 150 = 25·|AD| ve |AD| = 6 cm bulunur. Kısa yol aynı sonucu verir: b·c/(b + c) = 150/25 = 6.
Örnek 3. ABC üçgeninde |AB| = 7 cm, |AC| = 14 cm ve |BC| = 9 cm'dir. A köşesindeki dış açıortay BC doğrusunu E noktasında kesiyor. |EB| ve |AE| kaçar santimetredir?
Çözüm. |AB| < |AC| olduğundan E noktası B'nin ötesindedir ve |EC| = |EB| + 9 olur. Dış açıortay teoremine göre |EB|/|EC| = 7/14 = 1/2 olur; |EB| = x dersek 2x = x + 9 ve x = 9 cm bulunur. |EC| = 18 cm'dir. Dış açıortay uzunluğu bağıntısıyla |AE|² = 9·18 − 7·14 = 162 − 98 = 64 ve |AE| = 8 cm'dir.
Sık yapılan hatalar
- İç açıortay uzunluğunda m·n − b·c yazmak; içte b·c − m·n, dışta x·y − b·c alınır.
- |AD| = b·c/(b + c) kısa yolunu açı 120° değilken kullanmak.
- Dış açıortayın kestiği E noktasını uzun kenarın ucundaki köşenin ötesine yerleştirmek.
- Dış açıortay teoremini |AB| = |AC| olan üçgende kullanmaya çalışmak; bu durumda dış açıortay tabana paraleldir.
- |BD|/|DC| = |AB|/|AC| ve |EB|/|EC| = |AB|/|AC|.
- İç açıortay: |AD|² = b·c − m·n; dış açıortay: |AE|² = x·y − b·c.
- Açı 120° ise |AD| = b·c/(b + c), 90° ise |AD| = b·c·√2/(b + c) olur.