Konu anlatımı
Silindir ve kürenin alan ve hacim bağıntılarını TYT'den biliyorsun. AYT soruları bu cisimleri bir düzlemle keser ya da yüzeyleri üzerinde yol çizer. Bu alt başlıkta silindirin açınımını ve kesitlerini, kürenin düzlemle kesitini ve küre ile silindir arasındaki oranları göreceksin.
Silindirin açınımı ve en kısa yol
Silindirin yan yüzü bir ana doğru boyunca kesilip açılırsa kenarları 2πr ve h olan bir dikdörtgen elde edilir. Yan yüz üzerindeki en kısa yollar bu dikdörtgende doğru parçasıdır. Alt taban çemberi üzerindeki bir noktadan başlayıp yan yüzü bir kez dolanarak aynı ana doğrunun üst ucuna ulaşan en kısa yol, dikdörtgenin köşegenidir: √((2πr)² + h²). Yarım tur dolanarak karşıdaki ana doğrunun üst ucuna ulaşan yol √((πr)² + h²) olur.
Silindirin kesitleri
Eksene dik her kesit, tabana eş bir dairedir. Eksenden geçen kesit, kenarları 2r ve h olan dikdörtgendir. Eksene paralel olan ve eksene uzaklığı d olan bir düzlem silindiri yine bir dikdörtgen boyunca keser; bu dikdörtgenin bir kenarı h, öbür kenarı tabandaki kiriş olan 2·√(r² − d²) olur. d büyüdükçe kesit daralır; d = r olduğunda düzlem silindire teğettir.
Kürenin düzlemle kesiti
Bir küre bir düzlemle kesilirse kesit her zaman bir dairedir. Kürenin yarıçapı R, merkezin düzleme uzaklığı d ise kürenin merkezi, kesit dairesinin merkezi ve kesit çemberi üzerindeki bir nokta dik üçgen oluşturur; kesitin yarıçapı √(R² − d²) olur. Merkezden geçen düzlem yarıçapı R olan en büyük daireyi verir. d = R olduğunda düzlem küreye tek noktada değer.
Küre, yarım küre ve silindir
Yarıçapı R olan kürenin yüzey alanı 4πR², hacmi 4πR³/3 olur. Yarım kürenin hacmi 2πR³/3, düz yüzüyle birlikte yüzey alanı 3πR² olur. Küreyi tam saran silindirin yarıçapı R, yüksekliği 2R olur; kürenin hacmi bu silindirin hacminin üçte ikisidir ve kürenin yüzey alanı silindirin yanal alanına eşittir. Yarıçapı 6 olan yarım kürenin hacmi 144π birimküp, yüzey alanı 108π birimkaredir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yarıçapı 13 cm olan bir küre, merkezinden 5 cm uzaklıktaki bir düzlemle kesiliyor. Kesitin yarıçapı, alanı ve çevresi kaçtır?
Çözüm. Kesitin yarıçapı √(13² − 5²) = √144 = 12 cm'dir. Kesit dairesinin alanı π·12² = 144π cm², çevresi 2π·12 = 24π cm olur. Kürenin merkezi, kesitin merkezi ve kesit çemberindeki bir nokta 5-12-13 dik üçgenini oluşturur.
Örnek 2. Taban yarıçapı 10 cm ve yüksekliği 7 cm olan dik dairesel silindir, eksenine paralel ve eksene 6 cm uzaklıktaki bir düzlemle kesiliyor. Kesitin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. Düzlem tabanı, merkeze uzaklığı 6 cm olan bir kiriş boyunca keser. Kirişin uzunluğu 2·√(100 − 36) = 16 cm'dir. Kesit, kenarları 16 cm ve 7 cm olan bir dikdörtgendir; alanı 112 cm² olur.
Örnek 3. Taban çemberinin uzunluğu 24 cm ve yüksekliği 10 cm olan bir silindirin alt taban çemberi üzerinde A noktası, A'dan geçen ana doğrunun üst ucunda B noktası vardır. A'dan başlayıp yan yüzü bir kez dolanarak B'ye ulaşan en kısa yol kaç santimetredir?
Çözüm. Yan yüz A'dan geçen ana doğru boyunca kesilip açılırsa kenarları 24 cm ve 10 cm olan bir dikdörtgen elde edilir. A noktası dikdörtgenin bir alt köşesine, bir tur sonra ulaşılan B noktası karşı üst köşeye gelir. En kısa yol dikdörtgenin köşegenidir: √(24² + 10²) = √676 = 26 cm.
Sık yapılan hatalar
- Kürenin kesitinde yarıçapı R − d ile bulmak; doğrusu √(R² − d²) olur.
- Silindirin eksene paralel kesitinde genişliği 2r almak; düzlem eksenden geçmiyorsa genişlik 2·√(r² − d²) olur.
- Yüzeydeki en kısa yolu açınım yapmadan, yükseklik ile çevrenin toplamı olarak hesaplamak.
- Yarım kürenin yüzey alanında düz yüzü unutmak ya da iki kez saymak.
- Silindirin yan yüzü, kenarları 2πr ve h olan dikdörtgene açılır.
- Kürenin kesit yarıçapı √(R² − d²) olur.
- Eksene d uzaklıktaki paralel kesitin genişliği 2·√(r² − d²) olur.
- Kürenin hacmi, onu saran silindirin hacminin üçte ikisidir.