Konu anlatımı
Dikdörtgenler prizması ve küpün hacim ile yüzey alanı bağıntılarını TYT'den biliyorsun. AYT'de bu cisimlerin içinden geçen köşegenler ve düzlemlerle oluşan kesitler sorulur. Bu alt başlıkta cisim köşegenini, köşegenle yüzey alanı arasındaki bağıntıyı, köşegen kesitini, küpte köşe kesmeyi ve yüzey üzerinde en kısa yolu göreceksin.
Cisim köşegeni
Ayrıtları a, b ve c olan dikdörtgenler prizmasında bir yüzün köşegeni Pisagor teoremiyle √(a² + b²) olur. Bu yüz köşegeni ile üçüncü ayrıt birbirine diktir; ikisinin oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsü cisim köşegenidir: d² = a² + b² + c². Üç farklı yüz köşegeninin kareleri toplamı 2·(a² + b² + c²) = 2d² eder. Küpte yüz köşegeni a√2, cisim köşegeni a√3 olur.
Köşegen, ayrıtlar ve yüzey alanı
(a + b + c)² ifadesi açılırsa a² + b² + c² + 2·(ab + bc + ac) bulunur. Birinci kısım d², ikinci kısım yüzey alanı S olduğundan (a + b + c)² = d² + S yazılır. Bir köşeden çıkan üç ayrıtın toplamı, yüzey alanı ve cisim köşegeninden ikisi verilirse üçüncüsü ayrıtları tek tek bulmadan hesaplanır.
Köşegen kesiti ve küpte kesitler
ABCD tabanlı, EFGH üst yüzlü dikdörtgenler prizmasında E köşesi A'nın, F köşesi B'nin, G köşesi C'nin, H köşesi D'nin üstünde olsun. A, C, G ve E köşelerinden geçen düzlem prizmayı ACGE dikdörtgeni boyunca keser; bu dikdörtgenin kenarları taban köşegeni |AC| ve yükseklik |AE|, köşegeni ise cisim köşegenidir. Ayrıtı a olan küpte A köşesine komşu B, D ve E köşelerinden geçen düzlem, kenarı a√2 olan BDE eşkenar üçgenini verir; alanı a²·√3/2 olur. Bu düzlemin küpten ayırdığı köşe parçası, birbirine dik üç ayrıtı a olan bir üçgen piramittir ve hacmi a³/6 olur.
Yüzey üzerinde en kısa yol
Bir prizmanın yüzeyi üzerinde iki nokta arasındaki en kısa yol, yüzler düzleme açıldığında bir doğru parçası olur. Dikdörtgenler prizmasının karşılıklı iki köşesi arasında yüzeyden gidilen yolun uzunluğu, hangi iki yüzün yan yana açıldığına göre üç farklı değer alır; en kısası, en uzun ayrıt tek bırakılıp öbür ikisi toplanarak bulunur. Ayrıtları 2, 4 ve 8 olan prizmada bu yol √((2 + 4)² + 8²) = 10 birimdir; öbür açınımlar √116 ve √148 verir. Cisim köşegeni ise √84 birimdir ve yüzeyden gidilen yoldan kısadır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir dikdörtgenler prizmasının bir köşesinden çıkan üç ayrıtının uzunlukları toplamı 17 cm, yüzey alanı 168 cm²'dir. Prizmanın cisim köşegeni kaç santimetredir?
Çözüm. (a + b + c)² = d² + S bağıntısında yerine yazılır: 17² = d² + 168. Buradan d² = 289 − 168 = 121 ve d = 11 cm bulunur. Ayrıtları 2 cm, 6 cm ve 9 cm olan prizma bu koşulları sağlar: toplam 17, yüzey alanı 2·(12 + 54 + 18) = 168 ve 4 + 36 + 81 = 121.
Örnek 2. ABCD tabanlı, EFGH üst yüzlü dikdörtgenler prizmasında E köşesi A'nın, G köşesi C'nin üstündedir; |AB| = 12 cm, |BC| = 9 cm ve |AE| = 8 cm'dir. ACGE kesitinin alanı kaç cm²'dir? |AG| kaç santimetredir?
Çözüm. Taban köşegeni |AC| = √(144 + 81) = 15 cm'dir. ACGE bir dikdörtgendir; kenarları 15 cm ve 8 cm olduğundan alanı 120 cm²'dir. [AG] bu dikdörtgenin köşegeni, yani prizmanın cisim köşegenidir: |AG| = √(225 + 64) = 17 cm.
Örnek 3. Ayrıtı 12 cm olan bir küpün A köşesine komşu üç köşesi B, D ve E noktalarıdır. B, D ve E noktalarından geçen düzlem küpü kesiyor. Kesitin alanı, A köşesini içeren parçanın hacmi ve A köşesinin kesit düzlemine uzaklığı kaçtır?
Çözüm. Kesit, kenarları yüz köşegeni olan BDE eşkenar üçgenidir; kenarı 12√2 cm, alanı (12√2)²·√3/4 = 72√3 cm²'dir. A köşesini içeren parça, tabanı ABD dik üçgeni ve yüksekliği |AE| olan piramittir: hacmi (12·12/2)·12/3 = 288 cm³ olur. Aynı hacim kesit taban alınarak yazılırsa 72√3·x/3 = 288 ve x = 12/√3 = 4√3 cm bulunur; A'nın kesit düzlemine uzaklığı 4√3 cm'dir.
Sık yapılan hatalar
- Cisim köşegenini yüz köşegeniyle karıştırmak; cisim köşegeni üç ayrıtın karelerinin toplamından bulunur.
- (a + b + c)² = d² + S bağıntısında yüzey alanı yerine yüzey alanının yarısını kullanmak.
- Köşegen kesitinin kenarını taban ayrıtı almak; kenar taban köşegenidir.
- Yüzeyden gidilen en kısa yolu cisim köşegeniyle aynı sanmak.
- d² = a² + b² + c²; küpte d = a√3.
- (a + b + c)² = d² + S; S yüzey alanıdır.
- Köşegen kesiti, taban köşegeni ile yüksekliğin oluşturduğu dikdörtgendir.
- Küpte bir köşeye komşu üç köşeden geçen kesit eşkenar üçgendir; ayrılan parçanın hacmi a³/6 olur.