Konu anlatımı
Bir cismin içine yerleştirilen başka bir cisim, AYT katı cisim sorularının en tanıdık biçimidir. Bu sorularda üç boyutlu şekli çizmeye çalışmak yerine uygun bir kesit alınır: eksenden geçen kesit ya da köşegen kesiti. Bu alt başlıkta küre ile prizmayı, küre içindeki silindir ve koniyi, koni içindeki silindir ve küreyi göreceksin.
Küre ile küp ve prizma
Ayrıtı a olan küpün içine yerleştirilebilecek en büyük küre altı yüze de değer; yarıçapı a/2 olur. Küpün sekiz köşesinden geçen kürenin çapı küpün cisim köşegenidir; yarıçapı a√3/2 olur. Aynı düşünce dikdörtgenler prizmasında da geçerlidir: bütün köşelerden geçen kürenin çapı cisim köşegenidir. Bir silindirin içine yerleştirilebilecek en büyük kürenin çapı, taban çapı ile yükseklikten küçük olanına eşittir.
Küre içinde silindir ve koni
Yarıçapı R olan kürenin içine, taban çemberleri küre yüzeyinde olan bir silindir yerleştirilirse eksenden geçen kesitte bir çemberin içine çizilmiş dikdörtgen görülür; dikdörtgenin köşegeni çaptır: (2R)² = (2r)² + h², yani R² = r² + (h/2)². Tepe noktası ve taban çemberi küre yüzeyinde olan koni için kürenin merkezinin tabana uzaklığı |h − R| olur; R² = r² + (h − R)² eşitliğinden r² = h·(2R − h) bulunur.
Koni içinde silindir
Taban yarıçapı r, yüksekliği h olan koninin içine, alt tabanı koninin tabanında ve üst taban çemberi koninin yan yüzünde olan bir silindir yerleştirilsin. Eksenden geçen kesitte ikizkenar üçgenin içine oturmuş bir dikdörtgen görülür. Silindirin yarıçapı x, yüksekliği y ise silindirin üstünde kalan küçük koni büyük koniye benzerdir: x/r = (h − y)/h. Taban yarıçapı 10, yüksekliği 15 olan koninin içindeki yarıçapı 4 olan silindirin yüksekliği 15·(10 − 4)/10 = 9 birim, hacmi 144π birimküptür.
Koni içinde küre
Koninin tabanına ve yan yüzüne değen en büyük kürenin merkezi eksen üzerindedir. Eksenden geçen kesitte küre, ikizkenar üçgenin iç teğet çemberi olarak görünür. Üçgenin tabanı 2r, eş kenarları ℓ ve yüksekliği h olduğundan alanı r·h, çevresinin yarısı r + ℓ olur; kürenin yarıçapı r·h/(r + ℓ) bulunur. Taban yarıçapı r ve yüksekliği r olan koni ile yarıçapı r olan yarım kürenin hacimleri toplamı, taban yarıçapı r ve yüksekliği r olan silindirin hacmine eşittir: πr³/3 + 2πr³/3 = πr³.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Ayrıtları 4 cm, 6 cm ve 12 cm olan dikdörtgenler prizmasının bütün köşelerinden geçen kürenin yarıçapı ve yüzey alanı kaçtır?
Çözüm. Kürenin çapı prizmanın cisim köşegenidir: √(16 + 36 + 144) = √196 = 14 cm. Yarıçap 7 cm, yüzey alanı 4π·7² = 196π cm² olur.
Örnek 2. Yarıçapı 10 cm olan bir kürenin içine, taban çemberleri küre yüzeyinde olan ve yüksekliği 12 cm olan bir silindir yerleştiriliyor. Silindirin taban yarıçapı ve hacmi kaçtır?
Çözüm. Eksenden geçen kesitte kürenin merkezi silindirin tam ortasındadır; tabanlara uzaklığı 6 cm'dir. r² = 10² − 6² = 64 olduğundan r = 8 cm bulunur. Silindirin hacmi π·64·12 = 768π cm³ olur.
Örnek 3. Taban yarıçapı 6 cm ve yüksekliği 8 cm olan dik dairesel koninin içine, tabana ve yan yüze değen bir küre yerleştiriliyor. Kürenin yarıçapı ve hacmi kaçtır?
Çözüm. Ana doğru √(36 + 64) = 10 cm'dir. Eksenden geçen kesit, kenarları 10 cm, 10 cm ve 12 cm olan ikizkenar üçgendir; alanı 12·8/2 = 48 cm², çevresinin yarısı 16 cm'dir. İç teğet çemberin yarıçapı 48/16 = 3 cm olur; bu, kürenin yarıçapıdır. Kürenin hacmi 4π·27/3 = 36π cm³ bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Köşelerden geçen kürenin çapını yüz köşegeni ya da ayrıt almak; çap cisim köşegenidir.
- Küre içindeki silindirde R² = r² + h² yazmak; yüksekliğin yarısı kullanılır.
- Koni içindeki silindirde benzerliği silindirin yüksekliğiyle kurmak; benzer olan, silindirin üstünde kalan küçük konidir.
- Koni içindeki kürenin yarıçapını koninin yarıçapının yarısı sanmak; yarıçap eksen kesitinin iç teğet çemberinden bulunur.
- Köşelerden geçen kürenin çapı cisim köşegenidir.
- Küre içinde silindir: R² = r² + (h/2)²; küre içinde koni: r² = h·(2R − h).
- Koni içinde silindir: x/r = (h − y)/h.
- Koni içindeki kürenin yarıçapı r·h/(r + ℓ) olur.