Konu anlatımı
Dik dairesel koninin taban yarıçapı r, yüksekliği h ve ana doğrusu ℓ arasında ℓ² = r² + h² bağıntısı vardır; hacmi πr²h/3 olur. AYT'de koni çoğunlukla yan yüzünün açınımıyla birlikte sorulur. Bu alt başlıkta açınımdaki daire dilimini, dilimden koni kurmayı, tabana paralel kesiti ve koni yüzeyindeki en kısa yolu göreceksin.
Açınımdaki daire dilimi
Koninin yan yüzü bir ana doğru boyunca kesilip düzleme açılırsa bir daire dilimi elde edilir. Dilimin yarıçapı ana doğru ℓ, yay uzunluğu taban çemberinin uzunluğu 2πr olur. Yarıçapı ℓ olan tam çemberin uzunluğu 2πℓ olduğundan dilimin merkez açısı α = 360°·r/ℓ bulunur. Dilimin alanı πℓ²·α/360° = πrℓ olur; bu, koninin yanal alanıdır. Yüzey alanı πrℓ + πr² ile hesaplanır.
Sık karşılaşılan açılar
Merkez açı 180° ise r/ℓ = 1/2 olur; ℓ = 2r ve eksenden geçen kesit eşkenar üçgendir. Merkez açı 120° ise ℓ = 3r, 90° ise ℓ = 4r, 72° ise ℓ = 5r olur. Merkez açı 216° ise r/ℓ = 3/5, 288° ise r/ℓ = 4/5 olur; bu iki durumda yarıçap, yükseklik ve ana doğru 3-4-5 üçgeninin katlarıdır. Merkez açı büyüdükçe koni basıklaşır; açı 360°'ye yaklaşırken yükseklik sıfıra yaklaşır.
Dilimden koni kurmak
Yarıçapı R ve merkez açısı α olan bir daire dilimi kıvrılıp kenarları birleştirilirse ana doğrusu R olan bir koni oluşur. Taban yarıçapı r = R·α/360° ile, yükseklik h = √(R² − r²) ile bulunur. Dilimin yarıçapı koninin yüksekliği değil ana doğrusudur; dilimin yayı da tabanın çevresi olur.
Paralel kesit, kesik koni ve en kısa yol
Koni tabana paralel bir düzlemle kesilirse tepe tarafında kalan küçük koni büyük koniye benzerdir; uzunlukların oranı p ise hacimlerin oranı p³ olur. Kalan kesik koninin hacmi iki koninin farkıdır; taban yarıçapları R ve r, yüksekliği h olan kesik koni için bu fark πh·(R² + R·r + r²)/3 eder. Koni yüzeyindeki en kısa yol açınımda doğru parçasıdır: ana doğrusu 6, taban yarıçapı 2 olan koninin açınımı 120°'lik bir dilimdir ve taban çemberi üzerindeki bir noktadan çıkıp yan yüzü bir kez dolanarak aynı noktaya dönen en kısa yol, dilimin kirişi olan 2·6·sin 60° = 6√3 birimdir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir koninin yan yüzünün açınımı, yarıçapı 10 cm olan bir yarım dairedir. Koninin taban yarıçapı, yüksekliği, hacmi ve yanal alanı kaçtır?
Çözüm. Yarım dairenin merkez açısı 180° olduğundan r = 10·180/360 = 5 cm'dir; ana doğru 10 cm olur. Yükseklik √(100 − 25) = 5√3 cm'dir. Hacim π·25·5√3/3 = 125√3π/3 cm³ bulunur. Yanal alan yarım dairenin alanıdır: π·100/2 = 50π cm²; πrℓ = π·5·10 de aynı sonucu verir. Eksenden geçen kesit, kenarı 10 cm olan eşkenar üçgendir.
Örnek 2. Yarıçapı 8 cm ve merkez açısı 270° olan bir daire dilimi kıvrılarak bir koni yapılıyor. Koninin taban yarıçapı, yüksekliği, hacmi ve yüzey alanı kaçtır?
Çözüm. Taban yarıçapı r = 8·270/360 = 6 cm, ana doğru 8 cm'dir. Yükseklik √(64 − 36) = √28 = 2√7 cm olur. Hacim π·36·2√7/3 = 24√7π cm³ bulunur. Yanal alan π·6·8 = 48π cm², taban alanı 36π cm² olduğundan yüzey alanı 84π cm²'dir.
Örnek 3. Taban yarıçapı 9 cm ve yüksekliği 12 cm olan bir koni, tepe noktasından 4 cm uzaklıkta tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Tepe tarafındaki küçük koninin ve kalan kesik koninin hacimleri kaçar cm³'tür?
Çözüm. Büyük koninin hacmi π·81·12/3 = 324π cm³ olur. Benzerlik oranı 4/12 = 1/3 olduğundan küçük koninin taban yarıçapı 3 cm, hacmi 324π/27 = 12π cm³ bulunur. Kesik koninin hacmi 324π − 12π = 312π cm³ olur. Kontrol: π·8·(81 + 27 + 9)/3 = 312π.
Sık yapılan hatalar
- Açınımda dilimin yarıçapını taban yarıçapı ya da yükseklik sanmak; dilimin yarıçapı ana doğrudur.
- Merkez açıyı 360°·ℓ/r ile hesaplamak; doğrusu 360°·r/ℓ olur.
- Yanal alanı πrh ile hesaplamak; yanal alan πrℓ olur.
- Kesik koninin hacmini yarıçapların ortalamasıyla silindir gibi hesaplamak.
- Açınım: yarıçapı ℓ, merkez açısı 360°·r/ℓ olan daire dilimi.
- Yanal alan πrℓ; yüzey alanı πrℓ + πr².
- Merkez açı 180° ise ℓ = 2r, 120° ise ℓ = 3r, 90° ise ℓ = 4r olur.
- Paralel kesitte hacim oranı p³ olur; kesik koni iki koninin farkıdır.