Konu anlatımı
Bir cismin biçimi değişse de içindeki madde miktarı değişmiyorsa hacmi aynı kalır. Eritip yeniden dökme, bir kaptan başka kaba aktarma ve taşma sorularının tamamı bu düşünceye dayanır. Bu alt başlıkta hacim korunumunu, taşan suyu, koni biçimli kaplardaki küp oranını ve benzer cisimlerde alan ile hacim oranlarını göreceksin.
Eritme ve yeniden dökme
Bir metal cisim eritilip kayıpsız olarak başka bir biçimde dökülürse iki cismin hacimleri eşittir. Önce bilinen cismin hacmi hesaplanır, sonra yeni cismin hacim bağıntısına eşitlenir. Yarıçapı 3 olan bir küre eritilip taban yarıçapı 3 olan bir koniye dökülürse 36π = π·9·h/3 eşitliğinden h = 12 bulunur. Bir büyük küreden eş küçük küreler dökülürse küre sayısı yarıçaplar oranının küpüdür.
Taşan su
Bir kapta su varken içine tamamen batan bir cisim bırakılırsa su, cismin hacmi kadar yer değiştirir. Kabın boş kısmının hacmi cismin hacminden büyükse su taşmaz ve yükselir; küçükse aradaki fark kadar su taşar. Taşan suyun hacmi, suyun hacmi ile cismin hacminin toplamından kabın hacmi çıkarılarak bulunur. Bu hesap, cismin tamamının kabın içinde ve su altında kaldığı durumda geçerlidir.
Koni biçimli kapta su
Tepe noktası aşağıda duran koni biçimli bir kapta su da bir koni oluşturur ve bu koni kaba benzerdir. Su yüksekliğinin kabın yüksekliğine oranı p ise su yüzeyinin yarıçapı kabın yarıçapının p katı, suyun hacmi kabın hacminin p³ katıdır. Su yüksekliği kabın yüksekliğinin yarısıysa kap yalnızca sekizde bir oranında doludur. Bu yüzden koni biçimli kaplarda su yüksekliği ile hacim doğru orantılı değildir.
Benzer cisimlerde alan ve hacim
Biçimleri aynı, büyüklükleri farklı iki cisimde karşılıklı uzunlukların oranı p ise yüzey alanlarının oranı p², hacimlerinin oranı p³ olur. Bütün küreler birbirine, bütün küpler birbirine benzerdir. Yarıçapı iki katına çıkan kürenin yüzey alanı dört, hacmi sekiz katına çıkar. Yükseklikleri ve yarıçapları aynı oranda büyütülen silindir ve koniler için de aynı kural geçerlidir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yarıçapı 6 cm olan metal bir küre eritilerek yarıçapı 2 cm olan eş küreler dökülüyor. Kaç küre elde edilir? Küçük kürelerin yüzey alanları toplamı, büyük kürenin yüzey alanının kaç katıdır?
Çözüm. Yarıçapların oranı 6/2 = 3 olduğundan hacimlerin oranı 3³ = 27 olur; 27 küre elde edilir. Büyük kürenin yüzey alanı 4π·36 = 144π cm², bir küçük kürenin yüzey alanı 4π·4 = 16π cm²'dir. Küçük kürelerin yüzey alanları toplamı 27·16π = 432π cm² olur; bu, büyük kürenin yüzey alanının 3 katıdır.
Örnek 2. Tepe noktası aşağıda duran, taban yarıçapı 9 cm ve yüksekliği 12 cm olan koni biçimli bir kapta 8 cm yüksekliğinde su vardır. Suyun hacmi kaç cm³'tür? Kabı tamamen doldurmak için kaç cm³ su eklenmelidir?
Çözüm. Kabın hacmi π·81·12/3 = 324π cm³ olur. Su yüksekliğinin kabın yüksekliğine oranı 8/12 = 2/3 olduğundan suyun hacmi 324π·(2/3)³ = 324π·8/27 = 96π cm³ bulunur. Su yüzeyinin yarıçapı 9·2/3 = 6 cm'dir ve π·36·8/3 = 96π ile aynı sonuç çıkar. Kabı doldurmak için 324π − 96π = 228π cm³ su eklenmelidir.
Örnek 3. Taban yarıçapı 6 cm ve yüksekliği 15 cm olan silindir biçimli bir kapta 13 cm yüksekliğinde su vardır. Kaba yarıçapı 2 cm olan 9 metal bilye bırakılıyor ve bilyelerin hepsi suya batıyor. Kaptan kaç cm³ su taşar?
Çözüm. Bir bilyenin hacmi 4π·8/3 = 32π/3 cm³, dokuz bilyenin hacmi 96π cm³ olur. Kabın boş kısmının hacmi π·36·(15 − 13) = 72π cm³'tür. Bilyelerin hacmi boş kısımdan büyük olduğundan su taşar; taşan suyun hacmi 96π − 72π = 24π cm³ bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Eritme sorularında hacim yerine yüzey alanını eşitlemek.
- Küçük küre sayısını yarıçaplar oranına ya da karesine eşit almak; sayı oranın küpüdür.
- Koni biçimli kapta su hacmini yükseklikle doğru orantılı saymak.
- Taşan suyu hesaplarken kabın boş kısmını hesaba katmamak.
- Eritme ve aktarmada hacimler eşitlenir.
- Taşan su = suyun hacmi + cismin hacmi − kabın hacmi.
- Tepe noktası aşağıda duran koni biçimli kapta su hacmi, yükseklik oranının küpüyle orantılıdır.
- Uzunluk oranı p ise alan p², hacim p³ oranındadır.