Konu anlatımı
Dik piramidin hacminin taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biri olduğunu TYT'den biliyorsun. AYT'de piramidin içindeki dik üçgenler, bütün ayrıtları eş olan piramitler ve tabana paralel kesitler öne çıkar. Bu alt başlıkta bu üç konuyu ve düzgün altıgen tabanlı piramidi göreceksin.
Kare dik piramitte dik üçgenler
Taban ayrıtı a, yüksekliği h olan kare dik piramitte tepe noktası T, tabanın merkezi O olsun. O'nun bir taban kenarının orta noktasına uzaklığı a/2, bir köşeye uzaklığı a√2/2 olur. T, O ve bir kenarın orta noktası dik üçgen oluşturur: yan yüz yüksekliği k için k² = h² + (a/2)² yazılır. T, O ve bir köşe de dik üçgen oluşturur: yan ayrıt ℓ için ℓ² = h² + a²/2 olur. Yan yüzün tabanla yaptığı açının tanjantı h/(a/2), yan ayrıtın tabanla yaptığı açının tanjantı h/(a√2/2) olur.
Bütün ayrıtları eş piramitler
Bütün ayrıtları a olan kare dik piramitte ℓ = a olduğundan h² = a² − a²/2 ve h = a√2/2 bulunur; hacim a³·√2/6 olur. Dört yüzü de eşkenar üçgen olan piramide düzgün dörtyüzlü denir. Tepe noktası taban üçgeninin ağırlık merkezinin tam üstündedir; ağırlık merkezinin köşelere uzaklığı a√3/3 olduğundan h² = a² − a²/3 ve h = a√6/3 bulunur. Düzgün dörtyüzlünün hacmi (a²·√3/4)·(a√6/3)/3 = a³·√2/12 olur.
Tabana paralel kesit
Bir piramit tabanına paralel bir düzlemle kesilirse kesit tabana benzer bir çokgendir ve tepe tarafında kalan küçük piramit büyük piramide benzerdir. Tepe noktasının kesit düzlemine uzaklığının yüksekliğe oranı p ise bütün uzunluklar p, kesit alanı ile taban alanı p², hacimler p³ oranındadır. Tabanla kesit arasında kalan kesik piramidin hacmi büyük hacmin (1 − p³) katıdır. Yüksekliğin orta noktasından geçen kesit taban alanının dörtte biridir; küçük piramit hacmin sekizde biri, kesik piramit sekizde yedisidir.
Düzgün altıgen tabanlı piramit
Tabanı kenarı a olan düzgün altıgen olan dik piramitte tabanın merkezinin köşelere uzaklığı a, kenarlara uzaklığı a√3/2 olur. Yan ayrıt için ℓ² = h² + a², yan yüz yüksekliği için k² = h² + 3a²/4 yazılır. Taban alanı 3√3·a²/2 olduğundan hacim √3·a²·h/2 olur. Taban ayrıtı 4, yüksekliği 3 olan altıgen piramitte yan ayrıt 5 birim, hacim 24√3 birimküptür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Taban ayrıtı 18 cm ve yüksekliği 12 cm olan kare dik piramidin yan yüz yüksekliği, yüzey alanı ve hacmi kaçtır? Yan yüzlerin tabanla yaptığı açının tanjantı kaçtır?
Çözüm. Tabanın merkezinin kenara uzaklığı 9 cm'dir; yan yüz yüksekliği √(12² + 9²) = 15 cm olur. Yanal alan 4·(18·15/2) = 540 cm², yüzey alanı 540 + 324 = 864 cm²'dir. Hacim 324·12/3 = 1296 cm³ bulunur. Yan yüzün tabanla yaptığı açının tanjantı 12/9 = 4/3 olur.
Örnek 2. Bütün ayrıtları 6 cm olan düzgün dörtyüzlünün yüksekliği ve hacmi kaçtır?
Çözüm. Taban, kenarı 6 cm olan eşkenar üçgendir; ağırlık merkezinin köşelere uzaklığı 6√3/3 = 2√3 cm'dir. Yükseklik √(36 − 12) = √24 = 2√6 cm olur. Taban alanı 36·√3/4 = 9√3 cm² olduğundan hacim 9√3·2√6/3 = 6√18 = 18√2 cm³ bulunur.
Örnek 3. Yüksekliği 12 cm ve hacmi 216 cm³ olan bir piramit, tepe noktasından 8 cm uzaklıkta tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Kesitin alanı, tepe tarafındaki küçük piramidin hacmi ve kalan parçanın hacmi kaçtır?
Çözüm. Taban alanı 3·216/12 = 54 cm²'dir. Benzerlik oranı 8/12 = 2/3 olduğundan kesit alanı 54·(2/3)² = 24 cm² olur. Küçük piramidin hacmi 216·(2/3)³ = 216·8/27 = 64 cm³ bulunur. Kalan kesik piramidin hacmi 216 − 64 = 152 cm³ olur.
Sık yapılan hatalar
- Yan yüz yüksekliği ile yan ayrıtı karıştırmak; yan yüz yüksekliği kenarın orta noktasına, yan ayrıt köşeye iner.
- Yan ayrıt için merkezin köşeye uzaklığı yerine taban ayrıtının yarısını kullanmak.
- Paralel kesitte alan oranını p, hacim oranını p² almak; doğrusu p² ve p³ olur.
- Benzerlik oranını kesitin tabana uzaklığıyla kurmak; oran, tepe noktasına uzaklıkla kurulur.
- Kare dik piramit: k² = h² + (a/2)² ve ℓ² = h² + a²/2.
- Düzgün dörtyüzlü: h = a√6/3, hacim a³·√2/12.
- Paralel kesit: uzunluk p, alan p², hacim p³ oranındadır.
- Kesik piramidin hacmi büyük hacmin (1 − p³) katıdır.