Dönel Cisimler

Konu anlatımı

Düzlemsel bir şekil, kendi düzlemindeki bir doğru etrafında tam tur döndürüldüğünde uzayda bir cisim süpürür; bu cisme dönel cisim denir. Silindir, koni ve küre en bilinen dönel cisimlerdir. Bu alt başlıkta dikdörtgenin, dik üçgenin, herhangi bir üçgenin ve dik yamuğun dönmesiyle oluşan cisimleri ve hacimlerini göreceksin.

Temel düşünce

Dönme sırasında şeklin her noktası, merkezi eksen üzerinde olan bir çember çizer; çemberin yarıçapı noktanın eksene uzaklığıdır. Eksene dik bir doğru parçası daire ya da halka, eksene paralel bir doğru parçası silindir yüzeyi, eksenle açı yapan bir doğru parçası koni yüzeyi oluşturur. Dikdörtgen bir kenarı etrafında döndürülürse o kenar yükseklik, komşu kenar yarıçap olur ve silindir oluşur: kenarları 3 ve 5 olan dikdörtgen 5 birimlik kenarı etrafında dönerse hacim 45π, 3 birimlik kenarı etrafında dönerse 75π birimküp olur. Yarım daire çapı etrafında döndürülürse küre oluşur.

Dik üçgenin dönmesi

Dik üçgen bir dik kenarı etrafında döndürülürse o kenar yükseklik, öbür dik kenar taban yarıçapı, hipotenüs ana doğru olur ve bir koni oluşur. Hipotenüsü etrafında döndürülürse tabanları ortak iki koni oluşur. Ortak taban yarıçapı hipotenüse ait yüksekliktir: dik kenarlar b ve c, hipotenüs a ise r = b·c/a olur. İki koninin yükseklikleri toplamı a olduğundan hacim πr²·a/3, yüzey alanı iki yanal alanın toplamı olan πr·(b + c) olur.

Herhangi bir üçgenin bir kenarı etrafında dönmesi

Bir üçgen a uzunluğundaki kenarı etrafında döndürülsün ve bu kenara ait yükseklik h olsun. Kenara komşu iki açı da darsa cisim, yarıçapı h olan ve yükseklikleri toplamı a olan iki koniden oluşur. Açılardan biri genişse cisim, büyük bir koniden küçük bir koninin çıkarılmasıyla oluşur ve yüksekliklerin farkı a olur. İki durumda da hacim π·h²·a/3 olur. Kenarı 6 olan eşkenar üçgen bir kenarı etrafında döndürülürse h = 3√3 olduğundan hacim 54π birimküptür.

Dik yamuğun ve dikdörtgenin dönmesi

Dik yamuk tabanlara dik olan kenarı etrafında döndürülürse kesik koni oluşur; tabanlar kesik koninin taban yarıçaplarıdır. Uzun tabanı etrafında döndürülürse bir silindir ile ona bitişik bir koni oluşur; kısa tabanı etrafında döndürülürse silindirden bir koni oyulmuş olur. Bir dikdörtgen, bir kenarına paralel olan ve dikdörtgeni kesmeyen bir eksen etrafında döndürülürse içi boş bir silindir oluşur; dikdörtgenin eksene uzak kenarının uzaklığı R, yakın kenarının uzaklığı r ve eksene paralel kenarı h ise hacim π·(R² − r²)·h olur.

Çözümlü örnekler

Sık yapılan hatalar

• Dönme eksenini karıştırmak; eksen üzerindeki kenar yüksekliği, eksene dik uzaklık yarıçapı verir.
• Hipotenüs etrafında dönmede yarıçapı bir dik kenar almak; yarıçap hipotenüse ait yüksekliktir.
• Dik yamuğun uzun tabanı etrafında dönmesinde koninin yüksekliğini uzun taban almak; koninin yüksekliği tabanların farkıdır.
• İki koniden oluşan cismin yüzey alanına ortak tabanı eklemek; ortak taban cismin içinde kalır.