Konu anlatımı
y = x doğrusu birinci ve üçüncü bölgelerin, y = −x doğrusu ikinci ve dördüncü bölgelerin açıortayıdır. Bu iki doğruya göre simetri, koordinatların yer değiştirmesiyle bulunur ve eksenlere göre simetri kadar sık kullanılır. Bu alt başlıkta iki kuralı, nedenini ve doğru ile çembere uygulanışını göreceksin.
y = x doğrusuna göre simetri
P(a, b) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği P′(b, a) noktasıdır. Nedeni şudur: [PP′] doğru parçasının orta noktası ((a + b)/2, (a + b)/2) noktasıdır ve y = x üzerindedir; a ile b farklıyken PP′ doğrusunun eğimi (a − b)/(b − a) = −1 olduğundan bu doğru y = x doğrusuna diktir. y = x üzerindeki noktalar yerinde kalır. Bir fonksiyon ile tersinin grafiklerinin y = x doğrusuna göre simetrik olması da aynı kuraldan gelir.
y = −x doğrusuna göre simetri
P(a, b) noktasının y = −x doğrusuna göre simetriği P′(−b, −a) noktasıdır: koordinatlar yer değiştirir ve ikisinin de işareti değişir. A(4, −1) noktasının y = −x doğrusuna göre simetriği (1, −4), y = x doğrusuna göre simetriği (−1, 4) noktasıdır. Bir noktanın bu iki doğruya göre simetrikleri birbirinin orijine göre simetriğidir.
Doğrunun ve çemberin simetriği
Bir doğrunun y = x doğrusuna göre simetriğini bulmak için denklemde x ile y'nin yerleri değiştirilir. Eğimi sıfırdan farklı bir m olan doğrunun simetriğinin eğimi 1/m olur; iki doğru paralel değilse y = x üzerinde kesişir. y = −x doğrusuna göre simetri için x yerine −y, y yerine −x yazılır. Çemberde merkezin simetriği alınır ve yarıçap korunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A(6, 2) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B, y = −x doğrusuna göre simetriği C noktasıdır. ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
Çözüm. B(2, 6) ve C(−2, −6) noktalarıdır. Alan bağıntısıyla ½·|6·(6 + 6) + 2·(−6 − 2) + (−2)·(2 − 6)| = ½·|72 − 16 + 8| = 32 birimkare bulunur. B ile C orijine göre simetrik olduğundan [BC] doğru parçası, orijin merkezli ve A'dan geçen çemberin çapıdır; bu yüzden A açısı diktir. Kontrol: |AB| = 4√2, |AC| = 8√2 ve 4√2·8√2/2 = 32.
Örnek 2. 2x + y − 8 = 0 doğrusunun y = x doğrusuna göre simetriğinin denklemi nedir? İki doğru hangi noktada kesişir?
Çözüm. x ile y'nin yerleri değiştirilir: 2y + x − 8 = 0, yani x + 2y − 8 = 0. İlk doğrunun eğimi −2, simetriğinin eğimi −1/2 olur. Kesişim noktası y = x doğrusu üzerindedir: 2x + x − 8 = 0 eşitliğinden x = 8/3 bulunur; nokta (8/3, 8/3) noktasıdır.
Örnek 3. (x − 6)² + (y − 2)² = 9 çemberinin y = −x doğrusuna göre simetriğinin denklemi nedir? İki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm. Merkez (6, 2) noktasının y = −x doğrusuna göre simetriği (−2, −6) noktasıdır; yarıçap 3 birim olarak kalır. Simetrik çember (x + 2)² + (y + 6)² = 9 olur. Merkezler arası uzaklık √(64 + 64) = 8√2 birimdir. Bu uzaklık yarıçapların toplamı olan 6 birimden büyük olduğundan iki çemberin ortak noktası yoktur.
Sık yapılan hatalar
- y = −x doğrusuna göre simetride yalnız koordinatların yerini değiştirmek; işaretler de değişir.
- y = x doğrusuna göre simetride koordinatların işaretini değiştirmek.
- Doğrunun y = x doğrusuna göre simetriğinde eğimi −1/m almak; doğrusu 1/m olur.
- Çemberin simetriğini alırken yarıçapı da değiştirmek.
- y = x: (a, b) noktası (b, a) noktasına gider.
- y = −x: (a, b) noktası (−b, −a) noktasına gider.
- Doğruda y = x için x ile y yer değiştirir; eğim 1/m olur.