Konu anlatımı
Simetri dönüşümünde bir doğru ya da bir nokta ayna görevi görür. En sık kullanılan aynalar koordinat eksenleri ve orijindir. Bu alt başlıkta bir noktanın x eksenine, y eksenine ve orijine göre simetriğini, bu simetrilerle oluşan şekilleri ve doğrunun simetriğini göreceksin.
x eksenine ve y eksenine göre simetri
P(x, y) noktasının x eksenine göre simetriği (x, −y) noktasıdır: apsis aynı kalır, ordinatın işareti değişir. y eksenine göre simetriği (−x, y) noktasıdır: ordinat aynı kalır, apsisin işareti değişir. Eksen, P ile görüntüsünü birleştiren doğru parçasını dik ortalar. Eksen üzerindeki bir noktanın o eksene göre simetriği kendisidir.
Orijine göre simetri
P(x, y) noktasının orijine göre simetriği (−x, −y) noktasıdır; orijin, P ile görüntüsünün orta noktasıdır. Bu dönüşüm, orijin etrafında 180° dönmeyle aynıdır. Ayrıca önce x eksenine, sonra y eksenine göre simetri almak da aynı noktayı verir: (x, y) noktası önce (x, −y), sonra (−x, −y) olur.
Simetrik noktalarla oluşan şekiller
Eksenlerin üzerinde olmayan bir P noktası ile x eksenine, y eksenine ve orijine göre simetrikleri, kenarları eksenlere paralel bir dikdörtgenin dört köşesidir. P(x, y) için bu dikdörtgenin kenarları 2·|x| ve 2·|y|, alanı 4·|x|·|y| olur. Dört köşeden üçü alınırsa dik üçgen oluşur ve alanı dikdörtgenin alanının yarısıdır.
Doğrunun ve çemberin simetriği
Bir doğrunun x eksenine göre simetriğinin denklemi, y yerine −y yazılarak bulunur; y eksenine göre simetriği için x yerine −x, orijine göre simetriği için hem x yerine −x hem y yerine −y yazılır. Eksene göre simetride eğimin işareti değişir; orijine göre simetride eğim aynı kalır ve doğru kendisine paralel olur. Çemberde yalnız merkezin simetriği alınır: (x − 4)² + (y + 1)² = 5 çemberinin y eksenine göre simetriği (x + 4)² + (y + 1)² = 5 çemberidir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. P(a − 2, 5) noktasının y eksenine göre simetriği Q(3, b + 1) noktasıdır. a ve b kaçtır?
Çözüm. y eksenine göre simetride apsisin işareti değişir, ordinat aynı kalır. −(a − 2) = 3 eşitliğinden a = −1, 5 = b + 1 eşitliğinden b = 4 bulunur. Gerçekten P(−3, 5) noktasının y eksenine göre simetriği (3, 5) noktasıdır.
Örnek 2. A(3, 4) noktasının x eksenine göre simetriği B, orijine göre simetriği C noktasıdır. ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
Çözüm. B(3, −4) ve C(−3, −4) noktalarıdır. [AB] kenarı düşey ve 8 birim, [BC] kenarı yatay ve 6 birimdir; bu iki kenar B köşesinde dik kesişir. Alan 8·6/2 = 24 birimkaredir. Üçgenin hipotenüsü |AC| = 10 birimdir ve orijin bu kenarın orta noktasıdır.
Örnek 3. 3x − y − 9 = 0 doğrusunun x eksenine, y eksenine ve orijine göre simetriklerinin denklemleri nedir?
Çözüm. x eksenine göre simetri için y yerine −y yazılır: 3x + y − 9 = 0. y eksenine göre simetri için x yerine −x yazılır: −3x − y − 9 = 0, yani 3x + y + 9 = 0. Orijine göre simetri için ikisi birden değiştirilir: −3x + y − 9 = 0, yani 3x − y + 9 = 0. İlk doğrunun eğimi 3 olur; eksenlere göre simetriklerin eğimi −3, orijine göre simetriğin eğimi yine 3 çıkar.
Sık yapılan hatalar
- x eksenine göre simetride apsisin işaretini değiştirmek; değişen ordinattır.
- Orijine göre simetride yalnız bir koordinatın işaretini değiştirmek.
- Doğrunun eksene göre simetriğini alırken sabit terimin de işaretini değiştirmek.
- Simetrik noktalarla oluşan dikdörtgende kenarları |x| ve |y| almak; kenarlar bunların iki katıdır.
- x ekseni: (x, −y); y ekseni: (−x, y); orijin: (−x, −y).
- Orijine göre simetri, 180° dönmeye ve iki eksene art arda simetriye eşittir.
- Doğruda x ekseni için y yerine −y, y ekseni için x yerine −x yazılır.