Konu anlatımı
Dönme, bir şekli sabit bir nokta etrafında çevirmektir. Bir dönmeyi belirlemek için üç bilgi gerekir: dönme merkezi, dönme açısı ve yön. Bu alt başlıkta orijin etrafında dönme kurallarını, başka bir merkez etrafında dönmeyi, dönme merkezini bulmayı ve dönmede değişmeyen büyüklükleri göreceksin.
Orijin etrafında dönme
Saat yönünün tersi pozitif yön kabul edilir. Orijin etrafında pozitif yönde 90° dönme P(x, y) noktasını (−y, x) noktasına, 180° dönme (−x, −y) noktasına, 270° dönme (y, −x) noktasına götürür. Saat yönünde 90° dönme, pozitif yönde 270° dönmeyle aynıdır: (y, −x). Kuralı unutursan (1, 0) noktasını dene: pozitif yönde 90° dönünce (0, 1) noktasına gelmelidir.
Genel dönme bağıntısı
Orijin etrafında pozitif yönde θ açısı kadar dönme, P(x, y) noktasını (x·cos θ − y·sin θ, x·sin θ + y·cos θ) noktasına götürür. θ = 90° için cos θ = 0 ve sin θ = 1 olduğundan (−y, x) kuralı elde edilir. P(2, 0) noktası 60° döndürülürse (2·cos 60°, 2·sin 60°) = (1, √3) noktasına gelir.
Bir nokta etrafında dönme
Dönme merkezi M(a, b) ise üç adım uygulanır: P'nin koordinatlarından M'nin koordinatları çıkarılır, elde edilen (x − a, y − b) ikilisine orijin etrafındaki kural uygulanır, sonuca M'nin koordinatları eklenir. Pozitif yönde 90° dönme için görüntü (a − (y − b), b + (x − a)) olur. Dönme merkezinin kendisi yerinde kalır.
Dönmede korunanlar ve merkezi bulmak
Dönmede her noktanın merkeze uzaklığı değişmez: |MP| = |MP′|. PMP′ açısı dönme açısına eşittir; 90° dönmede PMP′ ikizkenar dik üçgendir ve |PP′| = |MP|·√2 olur. Dönme merkezi bilinmiyorsa merkezin koordinatlarına harf verilip dönme kuralı yazılır; nokta ile görüntüsü iki denklem verir. Merkez, [PP′] doğru parçasının orta dikmesi üzerindedir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A(5, −2) noktasının orijin etrafında pozitif yönde 90°, 180° ve saat yönünde 90° döndürülmesiyle elde edilen noktalar nelerdir?
Çözüm. Pozitif yönde 90° dönme (x, y) noktasını (−y, x) noktasına götürür: (2, 5). 180° dönme iki koordinatın da işaretini değiştirir: (−5, 2). Saat yönünde 90° dönme (y, −x) kuralıyla yapılır: (−2, −5). Üç noktanın da orijine uzaklığı A ile aynıdır: √29 birim.
Örnek 2. P(7, 4) noktası M(3, 1) noktası etrafında pozitif yönde 90° döndürülüyor. Görüntünün koordinatları nedir? |PP′| kaç birimdir?
Çözüm. Merkezin koordinatları çıkarılır: (7 − 3, 4 − 1) = (4, 3). Pozitif yönde 90° dönme bu ikiliyi (−3, 4) yapar. Merkez geri eklenir: P′ = (3 − 3, 1 + 4) = (0, 5). |MP| = √(16 + 9) = 5 birim olduğundan |PP′| = 5√2 birimdir; doğrudan hesap da √(49 + 1) = √50 = 5√2 verir.
Örnek 3. A(1, 0) noktası bir K noktası etrafında pozitif yönde 90° döndürülünce A′(5, 2) noktasına geliyor. K noktasının koordinatları nedir?
Çözüm. K(h, k) olsun. A'nın koordinatlarından K çıkarılırsa (1 − h, −k) bulunur; pozitif yönde 90° dönme bunu (k, 1 − h) yapar. K geri eklenince görüntü (h + k, k + 1 − h) olur. h + k = 5 ve k + 1 − h = 2 eşitliklerinden k = 3 ve h = 2 bulunur. K(2, 3) noktasıdır; |KA| = |KA′| = √10 birimdir.
Sık yapılan hatalar
- Pozitif yönü saat yönü sanmak; pozitif yön saat yönünün tersidir.
- 90° dönmede (−y, x) yerine (y, −x) yazmak; ikincisi saat yönünde dönmedir.
- Bir nokta etrafında dönmede merkezi çıkarmadan kuralı uygulamak.
- Dönmeden sonra noktanın merkeze uzaklığının değiştiğini düşünmek.
- Orijin etrafında pozitif yönde 90°: (−y, x); 180°: (−x, −y); 270°: (y, −x).
- Genel dönme: (x·cos θ − y·sin θ, x·sin θ + y·cos θ).
- Başka merkez için: merkezi çıkar, döndür, merkezi geri ekle.
- |MP| = |MP′|; 90° dönmede |PP′| = |MP|·√2.