Konu anlatımı
Simetri merkezi her zaman orijin, simetri ekseni her zaman koordinat ekseni olmak zorunda değildir. Herhangi bir noktaya ya da doğruya göre simetride tek düşünce yeterlidir: simetri merkezi ya da eksen, nokta ile görüntüsünün tam ortasındadır. Bu alt başlıkta noktaya göre simetriyi, eksenlere paralel doğrulara ve eğik doğrulara göre simetriyi ve doğrunun bir noktaya göre simetriğini göreceksin.
Noktaya göre simetri
P(x, y) noktasının M(a, b) noktasına göre simetriği P′(x′, y′) ise M, [PP′] doğru parçasının orta noktasıdır: (x + x′)/2 = a ve (y + y′)/2 = b. Buradan P′(2a − x, 2b − y) bulunur. M orijinse kural (−x, −y) biçimine döner. Noktaya göre simetri, o nokta etrafında 180° dönmeyle aynıdır.
Eksenlere paralel doğrulara göre simetri
x = a doğrusuna göre simetride ordinat değişmez; apsis, a'nın öbür yanına aynı uzaklıkta geçer: (2a − x, y). y = b doğrusuna göre simetride apsis değişmez: (x, 2b − y). P(5, −2) noktasının x = 1 doğrusuna göre simetriği (−3, −2), y = 3 doğrusuna göre simetriği (5, 8) noktasıdır. a = 0 ve b = 0 alınırsa eksenlere göre simetri kuralları elde edilir.
Eğik bir doğruya göre simetri
P noktasının d doğrusuna göre simetriği P′ ise d, [PP′] doğru parçasını dik ortalar. Önce P'den geçen ve d'ye dik olan doğru yazılır; bu doğru ile d'nin kesişimi olan H dikme ayağıdır. Sonra H orta nokta alınarak P′ bulunur. d doğrusu ax + by + c = 0 ve nokta P(x₀, y₀) ise t = (a·x₀ + b·y₀ + c)/(a² + b²) hesaplanarak görüntü doğrudan (x₀ − 2·a·t, y₀ − 2·b·t) biçiminde de yazılabilir.
Doğrunun bir noktaya göre simetriği
Bir doğrunun M(a, b) noktasına göre simetriği, kendisine paralel bir doğrudur ve M bu iki doğruya eşit uzaklıktadır. Denklemi, x yerine 2a − x ve y yerine 2b − y yazılarak bulunur. M noktası doğrunun üzerindeyse doğrunun simetriği kendisidir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A(4, −1) noktasının M(1, 3) noktasına göre simetriği B, B noktasının x = 3 doğrusuna göre simetriği C noktasıdır. B ve C noktalarının koordinatları nedir?
Çözüm. B = (2·1 − 4, 2·3 − (−1)) = (−2, 7) olur. x = 3 doğrusuna göre simetride ordinat değişmez, apsis 2·3 − (−2) = 8 olur: C(8, 7). Kontrol: B ile C noktalarının apsislerinin ortalaması (−2 + 8)/2 = 3 bulunur.
Örnek 2. 3x − 2y + 4 = 0 doğrusunun P(2, 1) noktasına göre simetriğinin denklemi nedir?
Çözüm. x yerine 2·2 − x = 4 − x, y yerine 2·1 − y = 2 − y yazılır: 3·(4 − x) − 2·(2 − y) + 4 = 0. Düzenlenince −3x + 2y + 12 = 0, yani 3x − 2y − 12 = 0 bulunur. İki doğru paraleldir ve P noktasına uzaklıkları eşittir: |6 − 2 + 4|/√13 = |6 − 2 − 12|/√13 = 8/√13.
Örnek 3. A(1, 2) noktasının x + 2y − 10 = 0 doğrusuna göre simetriğinin koordinatları nedir?
Çözüm. Verilen doğrunun eğimi −1/2 olduğundan A'dan geçen dik doğrunun eğimi 2 olur: y − 2 = 2·(x − 1), yani y = 2x. Bu doğru verilen doğruyla x + 4x − 10 = 0 eşitliğinden x = 2, y = 4 noktasında kesişir; dikme ayağı H(2, 4) noktasıdır. H orta nokta olduğundan görüntü (2·2 − 1, 2·4 − 2) = (3, 6) noktasıdır.
Sık yapılan hatalar
- Noktaya göre simetride (a − x, b − y) yazmak; merkezin koordinatları iki katına çıkarılır.
- x = a doğrusuna göre simetride ordinatı değiştirmek; değişen apsistir.
- Eğik doğruya göre simetride dikme ayağını görüntü sanmak.
- Doğrunun noktaya göre simetriğinde eğimi değiştirmek; simetrik doğru ilkine paraleldir.
- M(a, b) noktasına göre simetrik nokta (2a − x, 2b − y) olur.
- x = a doğrusuna göre (2a − x, y); y = b doğrusuna göre (x, 2b − y).
- Eğik doğruda dikme ayağı, nokta ile görüntüsünün orta noktasıdır.
- Doğrunun noktaya göre simetriği kendisine paraleldir.