Konu anlatımı
Bir dönüşümün ardından bir başkasını uygulamaya dönüşümlerin bileşkesi denir. Soruların çoğunda nokta ya da şekil iki veya üç dönüşümden geçer. Bu alt başlıkta bileşkeyi adım adım uygulamayı, sıranın etkisini ve bazı bileşkelerin tek bir dönüşüme eşit olduğu durumları göreceksin.
Adım adım uygulama
Bileşkede her dönüşüm, bir önceki adımda bulunan görüntüye uygulanır. Soruyu okurken dönüşümlerin sırasını numarala ve her adımın sonucunu ayrı yaz. Öteleme, simetri ve dönme uzunlukları koruduğu için bileşkeleri de korur: bir üçgenin bileşke altındaki görüntüsü ilk üçgene eştir ve alanı aynıdır.
Sıranın etkisi
Dönüşümlerin sırası değişirse sonuç genellikle değişir. A(2, 3) noktası önce x eksenine göre yansıtılıp sonra 4 birim yukarı ötelenirse (2, −3) ve ardından (2, 1) olur. Aynı nokta önce 4 birim yukarı ötelenip sonra x eksenine göre yansıtılırsa (2, 7) ve ardından (2, −7) olur. İki ötelemenin ya da aynı merkezli iki dönmenin sırası ise sonucu değiştirmez.
İki yansımanın bileşkesi
Paralel iki doğruya göre art arda yansıma bir ötelemedir: önce x = a, sonra x = c doğrusuna göre yansıma, (x, y) noktasını (x + 2·(c − a), y) noktasına götürür; kayma miktarı iki doğru arasındaki uzaklığın iki katıdır. Birbirine dik iki doğruya göre art arda yansıma, doğruların kesişim noktasına göre simetridir: önce x = a, sonra y = b doğrusuna göre yansıma (2a − x, 2b − y) noktasını verir. x eksenine ve y eksenine art arda yansıma bu yüzden orijine göre simetridir.
Yansıma ile dönmenin bileşkesi
Önce y = x doğrusuna göre yansıtıp sonra orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürmek, (x, y) noktasını önce (y, x), sonra (−x, y) noktasına götürür; sonuç y eksenine göre yansımadır. Önce x eksenine, sonra y = x doğrusuna göre yansıtmak (x, y) noktasını (x, −y) ve ardından (−y, x) noktasına götürür; sonuç pozitif yönde 90° dönmedir. Orijin etrafında art arda iki 90° dönme, 180° dönmeye eşittir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. P(3, −1) noktası önce 2 birim sola ve 5 birim yukarı öteleniyor, sonra y = x doğrusuna göre yansıtılıyor, en son orijin etrafında 180° döndürülüyor. Son noktanın koordinatları nedir?
Çözüm. Öteleme: (3 − 2, −1 + 5) = (1, 4). y = x doğrusuna göre yansıma koordinatların yerini değiştirir: (4, 1). 180° dönme iki koordinatın işaretini değiştirir: (−4, −1). Son nokta (−4, −1) noktasıdır.
Örnek 2. P(5, 2) noktası önce x = 1 doğrusuna, sonra x = 4 doğrusuna göre yansıtılıyor. Son noktanın koordinatları nedir? Bu bileşke hangi tek dönüşüme eşittir?
Çözüm. x = 1 doğrusuna göre yansıma: (2·1 − 5, 2) = (−3, 2). x = 4 doğrusuna göre yansıma: (2·4 − (−3), 2) = (11, 2). Nokta 6 birim sağa kaymıştır; bileşke, iki doğru arasındaki uzaklığın iki katı kadar, yani 2·(4 − 1) = 6 birim sağa ötelemedir. Sıra tersine çevrilseydi nokta 6 birim sola kayar ve (−1, 2) olurdu.
Örnek 3. Köşeleri A(1, 1), B(4, 1) ve C(1, 3) olan üçgen önce orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülüyor, sonra 3 birim sağa öteleniyor. Görüntü üçgenin köşeleri nelerdir? Alanı kaç birimkaredir?
Çözüm. 90° dönme (x, y) noktasını (−y, x) noktasına götürür: köşeler (−1, 1), (−1, 4) ve (−3, 1) olur. 3 birim sağa öteleme apsisleri 3 artırır: A′(2, 1), B′(2, 4), C′(0, 1). İlk üçgenin dik kenarları 3 ve 2 birim, alanı 3 birimkaredir. Görüntü üçgenin dik kenarları da |A′B′| = 3 ve |A′C′| = 2 birimdir; alan değişmez, 3 birimkaredir.
Sık yapılan hatalar
- Dönüşümleri soruda verilen sıranın tersine uygulamak.
- İkinci dönüşümü ilk noktaya uygulamak; her adım bir önceki görüntüye uygulanır.
- Paralel iki doğruya göre yansımada kayma miktarını doğrular arasındaki uzaklığa eşit almak; kayma bu uzaklığın iki katıdır.
- Bileşkeden sonra şeklin alanının değiştiğini düşünmek.
- Bileşkede her adım bir önceki görüntüye uygulanır; sıra önemlidir.
- Paralel iki doğruya göre art arda yansıma, uzaklığın iki katı kadar ötelemedir.
- Dik iki doğruya göre art arda yansıma, kesişim noktasına göre simetridir.
- Öteleme, simetri ve dönme uzunlukları ve alanları korur.