Konu anlatımı
Dönüşümler yalnız noktalara değil, denklemi bilinen doğrulara ve çemberlere de uygulanır. Bunun için her noktayı tek tek taşımak gerekmez; denklem üzerinde çalışmak yeterlidir. Bu alt başlıkta iki nokta yöntemini, yerine koyma kurallarını, eğimin nasıl değiştiğini ve çemberin dönüşümünü göreceksin.
İki nokta yöntemi
Bir doğrunun öteleme, simetri ya da dönme altındaki görüntüsü yine bir doğrudur. En güvenli yol, doğru üzerinde iki nokta seçmek, bu noktaların görüntülerini bulmak ve görüntülerden geçen doğruyu yazmaktır. Eksenleri kestiği noktalar çoğu zaman en kolay seçimdir. Bu yöntem her dönüşümde çalışır ve yerine koyma kuralını denetlemek için de kullanılır.
Yerine koyma kuralları
Bir dönüşümden sonra elde edilen şeklin üzerindeki (x, y) noktası, ilk şeklin üzerindeki bir noktadan gelmiştir. O noktanın koordinatları x ve y cinsinden yazılıp ilk denklemde yerine konursa yeni denklem bulunur; bu yüzden denklemde yapılan değişiklik, dönüşümün tersidir.
- a birim sağa ve b birim yukarı öteleme: x yerine x − a, y yerine y − b yazılır.
- x eksenine göre simetri: y yerine −y; y eksenine göre simetri: x yerine −x yazılır.
- Orijine göre simetri: x yerine −x ve y yerine −y yazılır.
- y = x doğrusuna göre simetri: x ile y yer değiştirir; y = −x doğrusuna göre simetri: x yerine −y, y yerine −x yazılır.
- M(p, q) noktasına göre simetri: x yerine 2p − x, y yerine 2q − y yazılır.
- Orijin etrafında pozitif yönde 90° dönme: x yerine y, y yerine −x; saat yönünde 90° dönme: x yerine −y, y yerine x yazılır.
Eğim nasıl değişir?
Öteleme ve noktaya göre simetri doğrunun eğimini değiştirmez; görüntü ilk doğruya paraleldir. x eksenine ya da y eksenine göre simetride eğimin işareti değişir. Eğim sıfırdan farklı bir m ise y = x doğrusuna göre simetride görüntünün eğimi 1/m, 90° dönmede −1/m olur; 90° dönmede görüntü ilk doğruya diktir. 180° dönmede eğim değişmez.
Çemberin dönüşümü
Öteleme, simetri ve dönme çemberi yine bir çembere götürür ve yarıçapı değiştirmez. Bu yüzden yalnız merkezin görüntüsü bulunur ve aynı yarıçapla yeni denklem yazılır. Çember genel denklemle verilmişse önce merkez ve yarıçap bulunur. Art arda dönüşümlerde merkez adım adım taşınır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. y = 2x + 4 doğrusu orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülüyor. Elde edilen doğrunun denklemi nedir?
Çözüm. İki nokta yöntemi: doğru eksenleri (0, 4) ve (−2, 0) noktalarında keser. Pozitif yönde 90° dönme (x, y) noktasını (−y, x) noktasına götürür; görüntüler (−4, 0) ve (0, −2) noktalarıdır. Bu noktalardan geçen doğrunun eğimi (−2 − 0)/(0 + 4) = −1/2 olur: y = −x/2 − 2, yani x + 2y + 4 = 0. Yerine koyma kuralı aynı sonucu verir: x yerine y, y yerine −x yazılınca −x = 2y + 4 bulunur.
Örnek 2. x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0 çemberi önce y eksenine göre yansıtılıyor, sonra 3 birim yukarı öteleniyor. Elde edilen çemberin denklemi nedir?
Çözüm. Tam kareye tamamlanınca (x − 2)² + (y + 3)² = 16 bulunur; merkez (2, −3), yarıçap 4 birimdir. y eksenine göre yansıma merkezi (−2, −3) noktasına, 3 birim yukarı öteleme (−2, 0) noktasına taşır. Yarıçap değişmez: (x + 2)² + y² = 16. Açık biçimi x² + y² + 4x − 12 = 0 olur.
Örnek 3. x − 2y + 6 = 0 doğrusu önce y = x doğrusuna göre yansıtılıyor, sonra 2 birim sağa öteleniyor. Elde edilen doğru ile koordinat eksenleri arasında kalan üçgenin alanı kaç birimkaredir?
Çözüm. y = x doğrusuna göre yansıma için x ile y yer değiştirir: y − 2x + 6 = 0, yani 2x − y − 6 = 0. 2 birim sağa öteleme için x yerine x − 2 yazılır: 2·(x − 2) − y − 6 = 0, yani 2x − y − 10 = 0. Bu doğru eksenleri (5, 0) ve (0, −10) noktalarında keser; üçgenin alanı 5·10/2 = 25 birimkaredir.
Sık yapılan hatalar
- Yerine koyma kuralını dönüşümün kendisiyle aynı yönde yazmak; denklemdeki değişiklik dönüşümün tersidir.
- Dönme kuralında x yerine −y, y yerine x yazıp bunu pozitif yön sanmak; bu değişiklik saat yönünde dönmeyi verir.
- Çemberin dönüşümünde yarıçapı değiştirmek ya da merkez yerine denklemin katsayılarını dönüştürmek.
- Bileşkede ikinci yerine koymayı ilk denkleme uygulamak.
- Doğrunun görüntüsü için iki noktanın görüntüsünü al ya da denklemde yerine koy.
- Öteleme: x yerine x − a, y yerine y − b.
- Pozitif yönde 90° dönme: x yerine y, y yerine −x.
- Çemberde merkezin görüntüsü bulunur; yarıçap değişmez.