Konu anlatımı
Öteleme, bir şekli döndürmeden ve çevirmeden kaydırmaktır. Şeklin bütün noktaları aynı yönde ve aynı uzaklıkta yer değiştirir. Bu alt başlıkta noktanın ötelenmesini, öteleme miktarını bulmayı, doğrunun ve çemberin ötelenmesini ve art arda ötelemeleri göreceksin.
Noktanın ötelenmesi
Yatayda a, düşeyde b birimlik öteleme P(x, y) noktasını P′(x + a, y + b) noktasına götürür. a > 0 ise kayma sağa, a < 0 ise sola; b > 0 ise yukarı, b < 0 ise aşağı doğrudur. A(1, 2) noktası 3 birim sağa ve 4 birim aşağı ötelenirse A′(4, −2) olur. Bir noktanın kendisi ve görüntüsü biliniyorsa öteleme miktarı koordinatların farkından bulunur: a = x′ − x ve b = y′ − y. Noktanın yer değiştirme uzunluğu √(a² + b²) birimdir ve bütün noktalar için aynıdır.
Şeklin ötelenmesi
Bir çokgeni ötelemek için köşeleri tek tek ötelenir. Görüntü çokgen ilkine eştir: kenar uzunlukları, açılar ve alan değişmez; kenarlar da kendilerine paralel kalır. Ötelenen bir doğru parçasının uçları ile görüntülerinin uçları, doğru parçası öteleme yönünde değilse bir paralelkenarın köşeleridir.
Doğrunun ve çemberin ötelenmesi
Bir doğru a birim sağa ve b birim yukarı ötelenirse yeni denklem, eski denklemde x yerine x − a, y yerine y − b yazılarak bulunur. İşaretin ters olmasının nedeni şudur: yeni doğru üzerindeki (x, y) noktası, eski doğru üzerindeki (x − a, y − b) noktasından gelmiştir. Ötelenen doğrunun eğimi değişmez; yalnız sabit terimi değişir. Çemberde merkez ötelenir, yarıçap aynı kalır: merkezi (h, k) olan çemberin görüntüsünün merkezi (h + a, k + b) olur.
Art arda ötelemeler
İki öteleme art arda uygulanırsa sonuç yine bir ötelemedir; yatay ve düşey miktarlar toplanır. Önce 2 birim sağa ve 1 birim aşağı, sonra 5 birim sola ve 4 birim yukarı öteleme, tek başına 3 birim sola ve 3 birim yukarı ötelemeye eşittir. Ötelemelerde sıra sonucu değiştirmez.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir öteleme A(−3, 5) noktasını A′(2, 1) noktasına götürüyor. Aynı öteleme B(4, −2) noktasını hangi noktaya götürür? Noktalar kaç birim yer değiştirmiştir?
Çözüm. Öteleme miktarı a = 2 − (−3) = 5 ve b = 1 − 5 = −4 olur; yani 5 birim sağa ve 4 birim aşağı. B noktasının görüntüsü (4 + 5, −2 − 4) = (9, −6) noktasıdır. Yer değiştirme uzunluğu √(25 + 16) = √41 birimdir.
Örnek 2. 3x + 2y − 6 = 0 doğrusu 4 birim sağa ve 2 birim aşağı öteleniyor. Elde edilen doğrunun denklemi nedir?
Çözüm. x yerine x − 4, y yerine y + 2 yazılır: 3·(x − 4) + 2·(y + 2) − 6 = 0. Düzenlenince 3x + 2y − 14 = 0 bulunur. Kontrol: ilk doğru üzerindeki (2, 0) noktası ötelemeyle (6, −2) noktasına gider ve 3·6 + 2·(−2) − 14 = 0 olur. İki doğrunun eğimleri aynıdır.
Örnek 3. (x + 1)² + (y − 2)² = 9 çemberi bir ötelemeyle x² + y² − 6x + 8y + 16 = 0 çemberine dönüşüyor. Bu öteleme nedir?
Çözüm. İkinci denklem tam kareye tamamlanınca (x − 3)² + (y + 4)² = 9 olur. İki çemberin yarıçapları 3 birimdir; merkezler (−1, 2) ve (3, −4) noktalarıdır. Öteleme merkezi merkeze taşır: a = 3 − (−1) = 4 ve b = −4 − 2 = −6. Çember 4 birim sağa ve 6 birim aşağı ötelenmiştir.
Sık yapılan hatalar
- Doğruyu sağa ötelerken denklemde x yerine x + a yazmak; doğrusu x − a yazmaktır.
- Öteleme miktarını bulurken görüntüden ilk noktayı çıkarmak yerine tersini yapmak.
- Çemberin ötelenmesinde yarıçapı da değiştirmek; öteleme yalnız merkezi taşır.
- Aşağı ve sola ötelemelerde miktarı pozitif almak.
- Öteleme (x, y) noktasını (x + a, y + b) noktasına götürür.
- Öteleme miktarı: a = x′ − x, b = y′ − y.
- Doğru denkleminde x yerine x − a, y yerine y − b yazılır; eğim değişmez.
- Çemberde merkez ötelenir, yarıçap aynı kalır.