Konu anlatımı
Teğet, çemberle tek ortak noktası olan doğrudur ve değme noktasındaki yarıçapa diktir. Analitik düzlemde bu diklik, teğetin eğimini ve denklemini verir. Bu alt başlıkta çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğeti, verilen doğrultudaki teğetleri, dış noktadan çizilen teğetin uzunluğunu ve teğetler arasındaki açıyı göreceksin.
Çember üzerindeki noktadan teğet
T noktası çemberin üzerindeyse T'deki teğet, MT yarıçapına diktir. MT doğrusunun eğimi m ise teğetin eğimi −1/m olur; MT yataysa teğet düşey, MT düşeyse teğet yataydır. Merkezi M(a, b) olan çemberde T(x₀, y₀) noktasındaki teğetin denklemi (x₀ − a)·(x − x₀) + (y₀ − b)·(y − y₀) = 0 biçiminde de yazılır. Merkez orijinse bu denklem x₀·x + y₀·y = r² olur: x² + y² = 25 çemberinin (3, −4) noktasındaki teğeti 3x − 4y = 25 doğrusudur.
Verilen doğrultudaki teğetler
Bir çemberin, verilen bir doğruya paralel iki teğeti vardır. Bu teğetler ax + by + k = 0 biçiminde yazılır ve merkezin teğete uzaklığının yarıçapa eşit olması koşulundan k bulunur: |a·x₀ + b·y₀ + k| = r·√(a² + b²). Mutlak değer iki k değeri verir; bu iki teğet merkezin iki yanındadır ve aralarındaki uzaklık çapa eşittir. Verilen bir doğruya dik teğetler de aynı yolla, bx − ay + k = 0 biçiminden başlanarak bulunur.
Dış noktadan teğet uzunluğu
Çemberin dışındaki P noktasından çizilen teğet çembere T noktasında değiyorsa MTP üçgeni T'de dik açılıdır: |PT|² = |PM|² − r². Çember x² + y² + Dx + Ey + F = 0 biçiminde verilmişse |PM|² − r² değeri, P'nin koordinatları denklemin sol tarafında yerine yazılarak doğrudan bulunur. x² + y² + 4x − 10y + 4 = 0 çemberi ve P(10, 0) noktası için bu değer 100 + 0 + 40 − 0 + 4 = 144 olur; teğet parçası 12 birimdir.
Dış noktadan teğet doğruları ve aralarındaki açı
P(x₀, y₀) noktasından geçen teğetlerin denklemleri için eğim m alınarak y − y₀ = m·(x − x₀) yazılır ve merkezin bu doğruya uzaklığı yarıçapa eşitlenir. Denklem iki eğim verir; tek eğim çıkarsa öbür teğet düşey doğrudur. İki teğet arasındaki açı θ ise MTP dik üçgeninden sin(θ/2) = r/|PM| bulunur. |PM| = 2r ise teğetler arasındaki açı 60°, |PM| = r√2 ise 90° olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x² + y² − 6x + 2y − 10 = 0 çemberinin A(5, 3) noktasındaki teğetinin denklemi nedir?
Çözüm. Merkez (3, −1) noktasıdır. A'nın koordinatları denklemi sağlar: 25 + 9 − 30 + 6 − 10 = 0; yani A çemberin üzerindedir. MA doğrusunun eğimi (3 + 1)/(5 − 3) = 2 olduğundan teğetin eğimi −1/2 olur. Teğet y − 3 = −(1/2)·(x − 5), yani x + 2y − 11 = 0 doğrusudur.
Örnek 2. (x − 2)² + (y + 1)² = 10 çemberine teğet olan ve 3x − y + k = 0 biçiminde yazılan doğrular için k hangi değerleri alır?
Çözüm. Merkez (2, −1), yarıçap √10 birimdir. Merkezin doğruya uzaklığı yarıçapa eşit olmalıdır: |3·2 − (−1) + k|/√10 = √10. Buradan |7 + k| = 10 yazılır; 7 + k = 10 için k = 3, 7 + k = −10 için k = −17 bulunur. Teğetler 3x − y + 3 = 0 ve 3x − y − 17 = 0 doğrularıdır.
Örnek 3. P(4, 0) noktasından x² + y² = 8 çemberine çizilen teğetlerin denklemlerini, teğet parçasının uzunluğunu ve teğetler arasındaki açıyı bulunuz.
Çözüm. Teğet parçasının uzunluğu √(|PO|² − r²) = √(16 − 8) = 2√2 birimdir. Eğimi m olan y = m·(x − 4) doğrusunun orijine uzaklığı yarıçapa eşitlenir: |4m|/√(m² + 1) = 2√2. Kare alınınca 16m² = 8m² + 8 ve m² = 1 bulunur. Teğetler y = x − 4 ve y = −x + 4 doğrularıdır. Eğimlerin çarpımı −1 olduğundan teğetler arasındaki açı 90°'dir; bu, |PO| = r√2 olmasıyla uyumludur.
Sık yapılan hatalar
- Teğetin eğimini yarıçapın eğimiyle aynı almak; teğet yarıçapa diktir.
- Noktanın çemberin üzerinde olup olmadığını denetlemeden üzerindeki nokta için geçerli yöntemi kullanmak.
- Verilen doğrultudaki teğetlerden yalnız birini yazmak.
- Teğet uzunluğunda |PM|² − r² değerinin karekökünü almayı unutmak.
- Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir.
- Verilen doğrultuda iki teğet vardır: |a·x₀ + b·y₀ + k| = r·√(a² + b²).
- Teğet uzunluğu √(|PM|² − r²); genel denklemde noktayı sol tarafta yerine yaz.
- Teğetler arasındaki açı için sin(θ/2) = r/|PM|.