Konu anlatımı
Bir çemberi tanımlamak için merkezini ve yarıçapını bilmek yeterlidir. Standart denklem bu iki bilgiyi doğrudan gösterir; bu yüzden çember sorularının çoğunda hedef, verilenlerden merkezi ve yarıçapı bulmaktır. Bu alt başlıkta denklemin nereden geldiğini, bir noktanın çembere göre konumunu ve farklı verilerle denklem yazmayı göreceksin.
Denklem
Merkezi M(a, b), yarıçapı r olan çember, M'ye uzaklığı r olan noktaların kümesidir. P(x, y) bu çemberin üzerindeyse iki nokta arasındaki uzaklık bağıntısıyla √((x − a)² + (y − b)²) = r yazılır; kare alınınca (x − a)² + (y − b)² = r² bulunur. Merkezi (2, −3), yarıçapı 4 olan çemberin denklemi (x − 2)² + (y + 3)² = 16 olur. Denklemde parantezlerin içindeki sayılar merkezin koordinatlarının ters işaretlisidir ve sağ taraf yarıçapın karesidir. Merkez orijinse denklem x² + y² = r² olur.
Noktanın çembere göre konumu
Bir P(x₀, y₀) noktası için (x₀ − a)² + (y₀ − b)² değeri, P'nin merkeze uzaklığının karesidir. Bu değer r²'ye eşitse nokta çemberin üzerinde, r²'den küçükse içinde, r²'den büyükse dışındadır. Karekök almaya gerek yoktur; kareleri karşılaştırmak yeterlidir.
Denklemi yazmak için gerekenler
Merkez ve çember üzerindeki bir nokta verilmişse yarıçap bu iki nokta arasındaki uzaklıktır. Bir çapın uçları verilmişse merkez çapın orta noktası, yarıçap çapın yarısıdır. Çember üzerindeki iki nokta ve merkezin üzerinde bulunduğu bir doğru verilmişse merkez, bu iki noktayı birleştiren kirişin orta dikmesi ile verilen doğrunun kesişimidir; çünkü merkez her kirişin orta dikmesi üzerindedir. Üç noktası verilen çemberin merkezi de iki kirişin orta dikmelerinin kesişimidir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Merkezi M(−1, 4) olan ve A(5, −4) noktasından geçen çemberin denklemini yazınız. B(5, 9) ve C(9, 8) noktaları bu çemberin içinde midir, dışında mıdır?
Çözüm. Yarıçapın karesi |MA|² = (5 + 1)² + (−4 − 4)² = 36 + 64 = 100 olur; denklem (x + 1)² + (y − 4)² = 100 biçimindedir. B için (5 + 1)² + (9 − 4)² = 36 + 25 = 61 bulunur; 61 < 100 olduğundan B çemberin içindedir. C için (9 + 1)² + (8 − 4)² = 100 + 16 = 116 bulunur; 116 > 100 olduğundan C çemberin dışındadır.
Örnek 2. A(−2, 1) ve B(6, 7) noktaları bir çemberin çapının uçlarıdır. Çemberin denklemini yazınız.
Çözüm. Merkez [AB] doğru parçasının orta noktasıdır: ((−2 + 6)/2, (1 + 7)/2) = (2, 4). |AB| = √(64 + 36) = 10 birim olduğundan yarıçap 5 birimdir. Denklem (x − 2)² + (y − 4)² = 25 olur. Kontrol: A için 16 + 9 = 25.
Örnek 3. Merkezi y = x + 3 doğrusu üzerinde olan bir çember A(0, 1) ve B(6, 3) noktalarından geçiyor. Çemberin denklemini yazınız.
Çözüm. [AB] kirişinin orta noktası (3, 2), AB doğrusunun eğimi (3 − 1)/(6 − 0) = 1/3 olur. Orta dikmenin eğimi −3 olduğundan denklemi y − 2 = −3·(x − 3), yani y = −3x + 11 biçimindedir. Merkez bu doğru ile y = x + 3 doğrusunun kesişimidir: x + 3 = −3x + 11 eşitliğinden x = 2 ve y = 5 bulunur. Yarıçapın karesi |MA|² = 4 + 16 = 20 olur; denklem (x − 2)² + (y − 5)² = 20 biçimindedir.
Sık yapılan hatalar
- Merkezin koordinatlarını parantez içindeki işaretlerle aynı almak; (x + 1)² + (y − 4)² = 100 çemberinin merkezi (−1, 4) noktasıdır.
- Denklemin sağ tarafına yarıçapın kendisini yazmak; sağ taraf r² olmalıdır.
- Çapı verilen çemberde yarıçap yerine çapın uzunluğunu kullanmak.
- Noktanın konumunu belirlerken uzaklığın karesini r ile karşılaştırmak; kare, r² ile karşılaştırılır.
- (x − a)² + (y − b)² = r²: merkez (a, b), yarıçap r.
- Noktanın merkeze uzaklığının karesi r²'den küçükse nokta içeride, büyükse dışarıdadır.
- Çapın uçları verilmişse merkez orta nokta, yarıçap çapın yarısıdır.
- Merkez, her kirişin orta dikmesi üzerindedir.