Konu anlatımı
Standart denklemdeki kareler açılıp terimler bir tarafa toplanırsa çemberin genel denklemi elde edilir. Sorularda çember çoğunlukla bu açık biçimde verilir; merkez ve yarıçap ilk bakışta görünmez. Bu alt başlıkta genel denklemden merkezi ve yarıçapı okumayı, tam kareye tamamlamayı ve bir denklemin hangi koşulda çember belirttiğini göreceksin.
Genel denklemden merkez ve yarıçap
(x − a)² + (y − b)² = r² denklemi açılırsa x² + y² − 2a·x − 2b·y + a² + b² − r² = 0 bulunur. Bu, x² + y² + Dx + Ey + F = 0 biçimindedir; D = −2a, E = −2b ve F = a² + b² − r² olur. Buradan merkez (−D/2, −E/2) ve r² = (D² + E² − 4F)/4 elde edilir. x² + y² + 2x − 8y − 8 = 0 denkleminde merkez (−1, 4), r² = (4 + 64 + 32)/4 = 25 ve yarıçap 5 birimdir.
Tam kareye tamamlama
Bağıntıyı ezberlemek yerine x'li ve y'li terimleri ayrı ayrı tam kareye tamamlayabilirsin. x² + y² − 10x + 4y + 13 = 0 denkleminde x² − 10x ifadesine 25, y² + 4y ifadesine 4 eklenir ve aynı sayılar öbür tarafa da yazılır: (x − 5)² + (y + 2)² = 25 + 4 − 13 = 16. Merkez (5, −2), yarıçap 4 birimdir. x² ve y²'nin katsayıları 1'den farklı ama birbirine eşitse önce denklem bu katsayıya bölünür: 2x² + 2y² − 8x + 12y − 6 = 0 denklemi x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0 biçimine gelir; merkez (2, −3), yarıçap 4 birimdir.
Çember belirtme koşulu
Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0 denkleminin bir çember belirtmesi için üç koşul gerekir: x² ile y²'nin katsayıları eşit ve sıfırdan farklı olmalı, denklemde xy'li terim bulunmamalı ve tam kareye tamamlandığında sağ taraf pozitif çıkmalıdır. Katsayılar 1 iken son koşul D² + E² − 4F > 0 biçimindedir. Sağ taraf sıfır çıkarsa denklemi yalnız bir nokta sağlar: x² + y² − 2x + 4y + 5 = 0 denklemi (x − 1)² + (y + 2)² = 0 biçimindedir ve yalnız (1, −2) noktasını gösterir. Sağ taraf negatif çıkarsa denklemi sağlayan nokta yoktur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x² + y² − 10x + 4y + 13 = 0 çemberinin merkezi ve yarıçapı nedir? Bu çember orijinden geçer mi?
Çözüm. Merkez (10/2, −4/2) = (5, −2) noktasıdır. r² = (100 + 16 − 52)/4 = 16 olduğundan yarıçap 4 birimdir. Orijinin koordinatları denklemde yerine yazılırsa sol taraf 13 çıkar; sıfır olmadığı için çember orijinden geçmez. Sonuç pozitif olduğundan orijin çemberin dışındadır.
Örnek 2. x² + y² + 6x − 2y + k = 0 denklemi bir çember belirttiğine göre k hangi değerleri alabilir? Yarıçap 3 birim ise k kaçtır?
Çözüm. Tam kareye tamamlanınca (x + 3)² + (y − 1)² = 10 − k bulunur. Çember belirtmesi için 10 − k > 0, yani k < 10 olmalıdır. Yarıçap 3 birim ise 10 − k = 9 ve k = 1 olur.
Örnek 3. (m − 2)x² + 3y² + 12x − 6y + m − 14 = 0 denklemi bir çember belirttiğine göre m kaçtır? Bu çemberin merkezi ve yarıçapı nedir?
Çözüm. x² ile y²'nin katsayıları eşit olmalıdır: m − 2 = 3 ve m = 5. Denklem 3x² + 3y² + 12x − 6y − 9 = 0 olur; 3'e bölününce x² + y² + 4x − 2y − 3 = 0 bulunur. Tam kareye tamamlanınca (x + 2)² + (y − 1)² = 4 + 1 + 3 = 8 elde edilir. Sağ taraf pozitif olduğundan denklem bir çember belirtir; merkez (−2, 1), yarıçap 2√2 birimdir.
Sık yapılan hatalar
- Merkezi (D/2, E/2) almak; doğrusu (−D/2, −E/2) noktasıdır.
- Tam kareye tamamlarken eklenen sayıları öbür tarafa yazmayı unutmak.
- x² ve y² katsayıları 1 değilken bağıntıyı doğrudan uygulamak.
- Çember belirtme koşulunu denetlemeden her denklemi çember saymak.
- x² + y² + Dx + Ey + F = 0: merkez (−D/2, −E/2), r² = (D² + E² − 4F)/4.
- Çember koşulu: kare katsayıları eşit ve sıfırdan farklı, xy'li terim yok, r² > 0.
- Kare katsayıları 1 iken bir noktanın koordinatları sol tarafta yerine yazılınca sonuç pozitifse nokta dışarıda, negatifse içeridedir.