Konu anlatımı
İki çemberin birbirine göre durumunu, merkezleri arasındaki uzaklık ile yarıçaplar belirler. Denklemleri çözmeden yalnız bu üç sayıyı karşılaştırarak çemberlerin kesişip kesişmediğini söyleyebilirsin. Bu alt başlıkta beş durumu, teğetlik koşullarını ve kesişen çemberlerin ortak kirişini göreceksin.
Beş durum
Merkezler arası uzaklık d, yarıçaplar r₁ ve r₂ olsun; r₁ ≥ r₂ alalım. d > r₁ + r₂ ise çemberler birbirinin dışındadır ve ortak noktaları yoktur. d = r₁ + r₂ ise dıştan teğettirler. r₁ − r₂ < d < r₁ + r₂ ise iki noktada kesişirler. d = r₁ − r₂ ise içten teğettirler. d < r₁ − r₂ ise küçük çember büyüğün içindedir ve ortak noktaları yoktur. Yarıçapları 5 ve 2 olan iki çember için d = 9 iken çemberler ayrık, d = 7 iken dıştan teğet, d = 5 iken kesişen, d = 3 iken içten teğet, d = 1 iken iç içedir.
Teğet çemberler
Teğet iki çemberin değme noktası, merkezleri birleştiren doğru üzerindedir. Dıştan teğet çemberlerde değme noktası iki merkezin arasındadır ve merkezleri birleştiren doğru parçasını r₁ : r₂ oranında böler. İçten teğet çemberlerde değme noktası, büyük çemberin merkezinden küçük çemberin merkezine doğru r₁ kadar ilerlenerek bulunur. Yarıçaplardan biri bilinmiyorsa önce merkezler arası uzaklık hesaplanır, sonra teğetlik koşulu yazılır.
Ortak kiriş
İki noktada kesişen çemberlerin kesişim noktalarını birleştiren doğru parçasına ortak kiriş denir. İki çemberin denklemi x² + y² + Dx + Ey + F = 0 biçiminde yazılıp taraf tarafa çıkarılırsa kareli terimler sadeleşir ve ortak kirişi taşıyan doğrunun denklemi kalır; çünkü kesişim noktaları iki denklemi de sağlar. Ortak kiriş, merkezleri birleştiren doğruya diktir. Uzunluğu, çemberlerden birinin merkezinin bu doğruya uzaklığı h bulunarak 2·√(r² − h²) ile hesaplanır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x² + y² − 2x − 4y − 4 = 0 ve x² + y² − 10x − 10y + 34 = 0 çemberlerinin birbirine göre durumu nedir? Ortak kirişleri varsa uzunluğunu bulunuz.
Çözüm. Birinci çemberin merkezi (1, 2), yarıçapı √(1 + 4 + 4) = 3 birimdir. İkinci çemberin merkezi (5, 5), yarıçapı √(25 + 25 − 34) = 4 birimdir. Merkezler arası uzaklık √(16 + 9) = 5 birimdir; 4 − 3 < 5 < 4 + 3 olduğundan çemberler iki noktada kesişir. Denklemler taraf tarafa çıkarılınca 8x + 6y − 38 = 0, yani 4x + 3y − 19 = 0 bulunur. (1, 2) noktasının bu doğruya uzaklığı |4 + 6 − 19|/5 = 9/5 birimdir. Ortak kirişin uzunluğu 2·√(9 − 81/25) = 2·(12/5) = 24/5 birimdir.
Örnek 2. (x + 1)² + (y − 2)² = 4 çemberi ile merkezi (5, 10) olan bir çember veriliyor. İki çember dıştan teğetse ikinci çemberin yarıçapı kaç birimdir ve değme noktası nedir? Birinci çember ikincinin içinde kalacak biçimde içten teğetse ikinci çemberin yarıçapı kaç birimdir?
Çözüm. Merkezler (−1, 2) ve (5, 10) noktalarıdır; aralarındaki uzaklık √(36 + 64) = 10 birimdir. Dıştan teğetlikte 10 = 2 + r olduğundan r = 8 birimdir. Değme noktası birinci merkezden ikinciye doğru 2 birim, yani yolun 2/10'u kadar ilerlenerek bulunur: (−1 + 6/5, 2 + 8/5) = (1/5, 18/5). İçten teğetlikte 10 = r − 2 olduğundan r = 12 birimdir.
Örnek 3. x² + y² − 4y − 21 = 0 ve x² + y² − 12x + 4y + 15 = 0 çemberlerinin ortak kirişini taşıyan doğrunun denklemi ve ortak kirişin uzunluğu nedir?
Çözüm. Birinci çemberin merkezi (0, 2), yarıçapı √(4 + 21) = 5 birimdir. İkinci çemberin merkezi (6, −2), yarıçapı √(36 + 4 − 15) = 5 birimdir. Merkezler arası uzaklık √(36 + 16) = √52 birimdir ve yarıçapların toplamı olan 10 birimden küçüktür; yarıçaplar eşit olduğundan çemberler kesişir. Denklemler çıkarılınca 12x − 8y − 36 = 0, yani 3x − 2y − 9 = 0 bulunur. (0, 2) noktasının bu doğruya uzaklığı |−4 − 9|/√13 = √13 birimdir. Ortak kirişin uzunluğu 2·√(25 − 13) = 4√3 birimdir.
Sık yapılan hatalar
- Yalnız d ile r₁ + r₂ değerlerini karşılaştırmak; d küçükse içten teğetlik ve iç içe olma durumları da denetlenmelidir.
- İçten teğetlikte d = r₁ + r₂ yazmak; doğrusu d = |r₁ − r₂| olur.
- Ortak kiriş doğrusunu bulurken kare katsayıları 1 olmayan denklemleri doğrudan çıkarmak.
- Ortak kirişin uzunluğunu merkezler arası uzaklıkla karıştırmak.
- d = r₁ + r₂ ise dıştan teğet, d = |r₁ − r₂| ise içten teğet.
- |r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂ ise çemberler iki noktada kesişir.
- Ortak kiriş doğrusu için iki genel denklemi taraf tarafa çıkar.
- Ortak kirişin uzunluğu 2·√(r² − h²); h merkezin ortak kiriş doğrusuna uzaklığıdır.