Konu anlatımı
Bir noktanın ya da bir doğrunun bir çembere en yakın ve en uzak noktası sorulduğunda çember üzerindeki noktaları tek tek denemek gerekmez. Yanıt her zaman merkezden geçen bir doğru üzerindedir. Bu alt başlıkta bir noktaya, bir doğruya ve başka bir çembere göre en küçük ve en büyük uzaklıkları ve x² + y² ifadesinin uç değerlerini göreceksin.
Bir noktaya göre
P noktasının merkeze uzaklığı d olsun. PM doğrusu çemberi iki noktada keser; bunlardan biri P'ye en yakın, öbürü en uzak noktadır. P çemberin dışındaysa en küçük uzaklık d − r, içindeyse r − d olur; iki durumda da en büyük uzaklık d + r olur. Yarıçapı 5 olan bir çemberin merkezine 3 birim uzaklıktaki bir iç nokta için bu değerler 2 ve 8 birimdir. En yakın noktanın koordinatları, merkezden P'ye doğru r kadar ilerlenerek bulunur.
Bir doğruya göre
Merkezin doğruya uzaklığı h olsun. Doğru çemberi kesmiyorsa, yani h > r ise çember üzerindeki noktaların doğruya uzaklığı en az h − r, en çok h + r olur. Bu noktalar, merkezden doğruya inen dikmeyi taşıyan doğrunun çemberi kestiği noktalardır. Doğru çemberi kesiyorsa en küçük uzaklık sıfırdır; en büyük uzaklık yine h + r olur.
İki çember arasında
Birbirinin dışında olan iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık d ise biri birinci, öbürü ikinci çember üzerinde alınan iki nokta arasındaki uzaklık en az d − r₁ − r₂, en çok d + r₁ + r₂ olur. Yarıçapları 2 ve 3, merkezleri arası uzaklığı 10 olan çemberlerde bu değerler 5 ve 15 birimdir. Dört nokta da merkezleri birleştiren doğru üzerindedir.
x² + y² ifadesinin uç değerleri
Bir çember üzerindeki (x, y) noktaları için x² + y² ifadesi, noktanın orijine uzaklığının karesidir. Bu yüzden ifadenin en büyük değeri orijine en uzak noktada, en küçük değeri en yakın noktada alınır. Orijin çemberin dışındaysa ve merkeze uzaklığı d ise en büyük değer (d + r)², en küçük değer (d − r)² olur. Aynı düşünce (x − p)² + (y − q)² ifadesi için (p, q) noktasıyla uygulanır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x² + y² − 4x − 12y + 31 = 0 çemberi ile P(10, 0) noktası veriliyor. Çember üzerindeki noktaların P'ye uzaklıklarının en küçüğü ve en büyüğü kaçar birimdir? P'ye en yakın noktanın koordinatları nedir?
Çözüm. Merkez M(2, 6), r² = 4 + 36 − 31 = 9 ve yarıçap 3 birimdir. |PM| = √(64 + 36) = 10 birim olduğundan P çemberin dışındadır. En küçük uzaklık 10 − 3 = 7 birim, en büyük uzaklık 10 + 3 = 13 birimdir. En yakın nokta, M'den P'ye doğru yolun 3/10'u kadar ilerlenerek bulunur: (2 + 8·3/10, 6 − 6·3/10) = (22/5, 21/5).
Örnek 2. x² + y² + 2x − 4y − 4 = 0 çemberinin üzerindeki noktaların 3x − 4y − 14 = 0 doğrusuna uzaklıklarının en küçüğü ve en büyüğü kaçar birimdir?
Çözüm. Merkez (−1, 2), r² = 1 + 4 + 4 = 9 ve yarıçap 3 birimdir. Merkezin doğruya uzaklığı |−3 − 8 − 14|/5 = 25/5 = 5 birimdir; yarıçaptan büyük olduğu için doğru çemberi kesmez. En küçük uzaklık 5 − 3 = 2 birim, en büyük uzaklık 5 + 3 = 8 birimdir.
Örnek 3. (x − 3)² + (y − 4)² = 4 çemberi üzerindeki (x, y) noktaları için x² + y² ifadesinin en büyük ve en küçük değeri kaçtır?
Çözüm. x² + y² ifadesi noktanın orijine uzaklığının karesidir. Merkez (3, 4) noktasının orijine uzaklığı 5 birim, yarıçap 2 birimdir; orijin çemberin dışındadır. Çemberin orijine en uzak noktası 5 + 2 = 7 birim, en yakın noktası 5 − 2 = 3 birim uzaktadır. İfadenin en büyük değeri 49, en küçük değeri 9 olur.
Sık yapılan hatalar
- En yakın ve en uzak noktayı merkezden geçmeyen bir doğru üzerinde aramak.
- Nokta çemberin içindeyken en küçük uzaklığı d − r ile hesaplayıp negatif sonuç bulmak; içteki nokta için r − d alınır.
- Doğru çemberi kestiği halde en küçük uzaklığı h − r almak; bu durumda en küçük uzaklık sıfırdır.
- x² + y² ifadesinin uç değerlerinde uzaklığın karesini almayı unutmak.
- Noktaya göre: en küçük |d − r|, en büyük d + r.
- Çemberi kesmeyen doğruya göre: en küçük h − r, en büyük h + r.
- Ayrık iki çember arasında: en az d − r₁ − r₂, en çok d + r₁ + r₂.
- x² + y², noktanın orijine uzaklığının karesidir.