Konu anlatımı
Bir çember bir doğruya teğetse merkezinin o doğruya uzaklığı yarıçapa eşittir. Doğru eksenlerden biriyse bu uzaklık merkezin bir koordinatının mutlak değeridir; bu yüzden eksenlere teğet çemberlerde merkez ile yarıçap birbirine bağlıdır. Bu alt başlıkta eksenlere teğet çemberleri, eksenlerden ayrılan kirişleri ve bir doğruya teğet çemberi göreceksin.
Bir eksene teğet çember
Merkezi M(a, b) olan çemberin x eksenine uzaklığı |b|, y eksenine uzaklığı |a| olur. Çember x eksenine teğetse r = |b| ve değme noktası (a, 0) noktasıdır; y eksenine teğetse r = |a| ve değme noktası (0, b) noktasıdır. x eksenine teğet olan ve A(−2, 8) ile B(6, 8) noktalarından geçen çemberin merkezi, [AB] kirişinin orta dikmesi olan x = 2 doğrusu üzerindedir; merkez (2, r) alınırsa 16 + (8 − r)² = r² eşitliğinden r = 5 bulunur.
İki eksene teğet çember
Çember iki eksene de teğetse |a| = |b| = r olur. Merkez, bulunduğu bölgeye göre (r, r), (−r, r), (−r, −r) ya da (r, −r) noktasıdır; yani y = x ya da y = −x doğrusu üzerindedir. Birinci bölgede iki eksene teğet çemberin denklemi (x − r)² + (y − r)² = r² olur. Bu çemberin belli bir noktadan geçmesi istenirse nokta denklemde yerine yazılır ve r için ikinci dereceden bir denklem çıkar; genellikle biri küçük biri büyük iki çember bulunur.
Eksenlerden ayrılan kirişler
Merkezin x eksenine uzaklığı |b| yarıçaptan küçükse çember x eksenini iki noktada keser ve ayırdığı kirişin uzunluğu 2·√(r² − b²) olur. Aynı biçimde y ekseninden ayrılan kiriş 2·√(r² − a²) uzunluğundadır. Kesişim noktalarını bulmak için denklemde y = 0 ya da x = 0 yazılır. Orijinden geçen ve eksenleri ayrıca (p, 0) ile (0, q) noktalarında kesen çemberde bu iki noktayı birleştiren doğru parçası çaptır; çünkü orijindeki açı 90°'dir. Merkez (p/2, q/2) noktasıdır.
Bir doğruya teğet çember
Merkezi M(x₀, y₀) olan çember ax + by + c = 0 doğrusuna teğetse yarıçap, M'nin bu doğruya uzaklığıdır: r = |a·x₀ + b·y₀ + c|/√(a² + b²). Merkezin koordinatlarında bir bilinmeyen varsa bu eşitlik onu verir. Merkezi bir doğru üzerinde olan ve iki eksene teğet çemberler aranıyorsa merkez (r, r), (r, −r), (−r, r) ve (−r, −r) biçimlerinde denenir; r'nin pozitif çıktığı durumlar alınır. Merkezi 3x − y − 8 = 0 doğrusu üzerinde olan ve iki eksene teğet çemberler, merkezleri (4, 4) ve (2, −2), yarıçapları 4 ve 2 olan çemberlerdir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Merkezi M(6, 10) olan çember x eksenine teğettir. Bu çemberin denklemini yazınız. Çember y eksenini hangi noktalarda keser ve y ekseninden kaç birimlik kiriş ayırır?
Çözüm. x eksenine teğet olduğundan yarıçap merkezin ordinatına eşittir: r = 10. Denklem (x − 6)² + (y − 10)² = 100 olur. x = 0 yazılınca 36 + (y − 10)² = 100, yani (y − 10)² = 64 bulunur; y = 2 ya da y = 18 olur. Çember y eksenini (0, 2) ve (0, 18) noktalarında keser; kirişin uzunluğu 16 birimdir. Kısa yol: 2·√(100 − 36) = 16.
Örnek 2. Birinci bölgede, iki koordinat eksenine de teğet olan ve P(3, 6) noktasından geçen çemberlerin denklemlerini bulunuz.
Çözüm. Merkez (r, r) biçimindedir ve denklem (x − r)² + (y − r)² = r² olur. P noktası yerine yazılır: (3 − r)² + (6 − r)² = r². Açınca r² − 18r + 45 = 0 bulunur; kökler r = 3 ve r = 15 olur. Çemberler (x − 3)² + (y − 3)² = 9 ve (x − 15)² + (y − 15)² = 225 biçimindedir.
Örnek 3. Merkezi M(1, −2) olan çember 5x − 12y + 10 = 0 doğrusuna teğettir. Çemberin denklemini yazınız. Bu çember eksenleri keser mi?
Çözüm. Yarıçap merkezin doğruya uzaklığıdır: |5·1 − 12·(−2) + 10|/13 = 39/13 = 3 birim. Denklem (x − 1)² + (y + 2)² = 9 olur. Merkezin x eksenine uzaklığı 2 birim, y eksenine uzaklığı 1 birimdir; ikisi de yarıçaptan küçük olduğundan çember iki ekseni de ikişer noktada keser.
Sık yapılan hatalar
- x eksenine teğet çemberde yarıçapı merkezin apsisine eşitlemek; yarıçap ordinatın mutlak değeridir.
- İki eksene teğet çemberlerden yalnız birini bulmak; noktadan geçme koşulu çoğu zaman iki çember verir.
- Merkez negatif koordinatlı bir bölgedeyken yarıçapı negatif almak; yarıçap koordinatın mutlak değeridir.
- Eksenden ayrılan kirişte merkezin o eksene değil öbür eksene uzaklığını kullanmak.
- x eksenine teğet: r = |b|; y eksenine teğet: r = |a|; ikisine de teğet: |a| = |b| = r.
- x ekseninden ayrılan kiriş 2·√(r² − b²), y ekseninden ayrılan kiriş 2·√(r² − a²) olur.
- Doğruya teğet çemberde yarıçap, merkezin doğruya uzaklığıdır.