Konu anlatımı
Bir doğru bir çemberi iki noktada kesebilir, çembere teğet olabilir ya da çemberle hiç ortak noktası olmayabilir. Hangi durumun gerçekleştiğini merkezin doğruya uzaklığı belirler. Bu alt başlıkta bu karşılaştırmayı, kesişim noktalarını bulmayı, kiriş uzunluğunu ve kirişin orta noktasını göreceksin.
Uzaklıkla karşılaştırma
Çemberin merkezi M, yarıçapı r ve M'nin doğruya uzaklığı d olsun. d < r ise doğru çemberi iki noktada keser, d = r ise doğru çembere teğettir, d > r ise doğru ile çemberin ortak noktası yoktur. Bu yöntemde kesişim noktalarını bulmak gerekmez. y = x + k doğrusunun x² + y² = 18 çemberine teğet olması için |k|/√2 = 3√2, yani k = 6 ya da k = −6 olmalıdır; −6 < k < 6 için doğru çemberi iki noktada keser.
Kesişim noktaları
Kesişim noktalarının koordinatları istenirse doğru denkleminden x ya da y çekilip çember denkleminde yerine yazılır ve ikinci dereceden bir denklem elde edilir. Bu denklemin diskriminantı pozitifse iki kesişim noktası, sıfırsa tek ortak nokta, yani teğetlik vardır; negatifse ortak nokta yoktur. y = 2x + 5 doğrusu x² + y² = 5 çemberinde yerine yazılırsa 5x² + 20x + 20 = 0 bulunur; diskriminant sıfırdır ve doğru çembere (−2, 1) noktasında teğettir.
Kiriş uzunluğu ve orta nokta
Doğru çemberi A ve B noktalarında kesiyorsa merkezden doğruya inen dikme [AB] kirişini ortalar. Dikmenin ayağı H ise MHA dik üçgeninde |AH|² = r² − d² olur; kirişin uzunluğu 2·√(r² − d²) bulunur. Kirişin orta noktası H noktasıdır ve merkezden geçen, doğruya dik olan doğru ile verilen doğrunun kesişimi olarak bulunur. M, A ve B noktalarının oluşturduğu üçgenin alanı |AB|·d/2 olur.
Orta noktası verilen kiriş
Çemberin içindeki bir P noktası, bir kirişin orta noktası olarak verilmişse bu kiriş MP doğrusuna diktir. Kirişi taşıyan doğru, P'den geçen ve eğimi MP doğrusunun eğiminin ters işaretli tersi olan doğrudur. Kirişin uzunluğu 2·√(r² − |MP|²) olur. P'den geçen kirişler arasında en kısa olan da bu kiriştir; en uzun olan ise P'den geçen çaptır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x² + y² = 25 çemberi ile x − 7y + 25 = 0 doğrusunun kesişim noktalarını ve bu noktalar arasındaki uzaklığı bulunuz.
Çözüm. Doğrudan x = 7y − 25 çekilip çemberde yerine yazılır: (7y − 25)² + y² = 25. Açınca 50y² − 350y + 600 = 0, yani y² − 7y + 12 = 0 bulunur; y = 3 ya da y = 4 olur. y = 3 için x = −4, y = 4 için x = 3 bulunur. Kesişim noktaları (−4, 3) ve (3, 4) noktalarıdır; aralarındaki uzaklık √(49 + 1) = 5√2 birimdir. Kontrol: merkezin doğruya uzaklığı 25/√50 = 5/√2 birimdir ve 2·√(25 − 25/2) = 5√2 çıkar.
Örnek 2. (x − 4)² + (y − 1)² = 25 çemberi ile 2x + y − 4 = 0 doğrusu A ve B noktalarında kesişiyor. |AB| kaç birimdir? [AB] kirişinin orta noktası nedir?
Çözüm. Merkez M(4, 1), yarıçap 5 birimdir. M'nin doğruya uzaklığı |8 + 1 − 4|/√5 = 5/√5 = √5 birimdir. |AB| = 2·√(25 − 5) = 2√20 = 4√5 birim olur. Orta nokta, M'den geçen ve doğruya dik olan x − 2y − 2 = 0 doğrusu ile 2x + y − 4 = 0 doğrusunun kesişimidir: ikinci denklem 2 ile çarpılıp birinciyle toplanınca 5x = 10, x = 2 ve y = 0 bulunur. Orta nokta (2, 0) noktasıdır.
Örnek 3. x² + y² − 4x − 16 = 0 çemberinin, orta noktası P(3, 2) olan kirişini taşıyan doğrunun denklemi nedir? Bu kirişin uzunluğu kaç birimdir?
Çözüm. Tam kareye tamamlanınca (x − 2)² + y² = 20 bulunur; merkez M(2, 0), r² = 20 olur. MP doğrusunun eğimi (2 − 0)/(3 − 2) = 2 olduğundan kirişin eğimi −1/2 olur: y − 2 = −(1/2)·(x − 3), yani x + 2y − 7 = 0. |MP|² = 1 + 4 = 5 olduğundan kirişin uzunluğu 2·√(20 − 5) = 2√15 birimdir.
Sık yapılan hatalar
- Kiriş uzunluğunda √(r² − d²) değerini ikiyle çarpmayı unutmak.
- Merkezin doğruya uzaklığı yerine merkezin kesişim noktalarından birine uzaklığını kullanmak; o uzaklık yarıçaptır.
- Teğetlik koşulunda mutlak değerin iki çözümünden birini atlamak.
- Orta noktası verilen kirişin eğimini MP doğrusunun eğimiyle aynı almak; kiriş bu doğruya diktir.
- d < r ise iki nokta, d = r ise teğet, d > r ise ortak nokta yok.
- Kiriş 2·√(r² − d²); orta nokta, merkezden inen dikmenin ayağıdır.
- Orta noktası P olan kiriş MP doğrusuna diktir.
- Kesişim noktaları için doğruyu çember denkleminde yerine yaz.