Konu anlatımı
Dört kenarı da aynı çembere teğet olan dörtgene teğetler dörtgeni denir; çember dörtgenin iç teğet çemberidir. Karşılıklı kenar toplamlarının eşit olduğunu TYT'den biliyorsun. Bu alt başlıkta bu eşitliğin nedenini, alan bağıntısını ve iç teğet çemberi olan ikizkenar yamuk ile dik yamuktaki kısa yolları göreceksin.
Kenar toplamları
Çember [AB], [BC], [CD] ve [DA] kenarlarına değsin. Bir köşeden çizilen iki teğet parçası eşit olduğundan A, B, C ve D köşelerinden çıkan teğet parçalarına sırasıyla x, y, z ve t denirse |AB| = x + y, |BC| = y + z, |CD| = z + t ve |DA| = t + x olur. Buradan |AB| + |CD| = |BC| + |DA| = x + y + z + t bulunur; bu ortak toplam çevrenin yarısıdır. Üç kenarı bilinen teğetler dörtgeninde dördüncü kenar bu eşitlikle hesaplanır.
Alan
İç teğet çemberin merkezi köşelere birleştirilince dörtgen, tabanları kenarlar ve yükseklikleri r olan dört üçgene ayrılır. Bu yüzden alan r·(|AB| + |BC| + |CD| + |DA|)/2 = r·u olur; u çevrenin yarısıdır ve karşılıklı iki kenarın toplamına eşittir. Yani teğetler dörtgeninin alanı için yarıçap ile karşılıklı iki kenarın uzunluğu yeterlidir. Eşkenar dörtgen, kare ve deltoid birer teğetler dörtgenidir; kare olmayan bir dikdörtgen ise değildir, çünkü karşılıklı kenar toplamları eşit olmaz.
İç teğet çemberli ikizkenar yamuk
Tabanları a ve c olan ikizkenar yamuğun iç teğet çemberi varsa iki yan kenarın toplamı a + c olmalıdır; her yan kenar (a + c)/2 uzunluğundadır. Yükseklik indirince h² = ((a + c)/2)² − ((a − c)/2)² = a·c bulunur. Yani yükseklik tabanların çarpımının kareköküdür: h = √(a·c). Çember iki tabana da teğet olduğundan çapı yüksekliğe eşittir: r = √(a·c)/2.
İç teğet çemberli dik yamuk
A ve D açıları dik olan, tabanları |AB| = a ve |DC| = c olan dik yamuğun iç teğet çemberi varsa yükseklik yine çapa eşittir: |AD| = 2r. Kenar toplamları eşitliğinden eğik kenar |BC| = a + c − |AD| bulunur. Pisagor teoremi |BC|² = |AD|² + (a − c)² ile birlikte yazılınca |AD| = 2·a·c/(a + c) çıkar. İç teğet çemberi olan her yamukta çemberin merkezi bir yan kenarın uçlarına birleştirildiğinde dik açı oluşur; çünkü bu yan kenara komşu iki açı bütünlerdir ve merkez bu açıların açıortayları üzerindedir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABCD teğetler dörtgeninde |AB| = 8 cm, |BC| = 11 cm ve |CD| = 12 cm'dir. İç teğet çemberin yarıçapı 4 cm olduğuna göre |DA| ve dörtgenin alanı kaçtır?
Çözüm. Karşılıklı kenarların toplamları eşittir: |AB| + |CD| = |BC| + |DA|, yani 8 + 12 = 11 + |DA| ve |DA| = 9 cm bulunur. Çevrenin yarısı u = 20 cm'dir. Alan r·u = 4·20 = 80 cm² olur.
Örnek 2. Tabanları 8 cm ve 18 cm olan bir ikizkenar yamuğun dört kenarı da içindeki bir çembere teğettir. Yamuğun yan kenarı, yüksekliği, çemberin yarıçapı ve yamuğun alanı kaçtır?
Çözüm. Karşılıklı kenar toplamları eşit olduğundan iki yan kenarın toplamı 8 + 18 = 26 cm'dir; her yan kenar 13 cm olur. Yükseklik indirilince yanda (18 − 8)/2 = 5 cm'lik parça kalır: h = √(169 − 25) = 12 cm. Kısa yol aynı sonucu verir: √(8·18) = 12. Çemberin yarıçapı 12/2 = 6 cm, yamuğun alanı (8 + 18)·12/2 = 156 cm²'dir.
Örnek 3. A ve D açıları dik olan ABCD dik yamuğunda AB ∥ DC, |AB| = 15 cm ve |DC| = 10 cm'dir. Yamuğun dört kenarı da içindeki bir çembere teğet olduğuna göre çemberin yarıçapı ve |BC| kaçar santimetredir?
Çözüm. |AD| = h diyelim. Kenar toplamları eşitliğinden |BC| = 15 + 10 − h = 25 − h olur. C'den [AB] tabanına inen dikmeyle kurulan dik üçgende (25 − h)² = h² + 5² yazılır. 625 − 50h = 25 eşitliğinden h = 12 cm bulunur. Çemberin çapı yüksekliğe eşit olduğundan r = 6 cm'dir; |BC| = 25 − 12 = 13 cm olur.
Sık yapılan hatalar
- Komşu kenarları toplamak; eşit olan, karşılıklı kenarların toplamlarıdır.
- Alan bağıntısında u yerine çevrenin tamamını kullanmak.
- Her yamuğun iç teğet çemberi olduğunu varsaymak; bunun için yan kenarların toplamı tabanların toplamına eşit olmalıdır.
- İç teğet çemberli yamukta yarıçapı yüksekliğe eşit almak; yükseklik çapa eşittir.
- |AB| + |CD| = |BC| + |DA| = u ve alan r·u olur.
- İç teğet çemberli ikizkenar yamuk: yan kenar (a + c)/2, h = √(a·c), r = h/2.
- İç teğet çemberli dik yamuk: h = 2·a·c/(a + c), eğik kenar a + c − h.