Konu anlatımı
Çemberde beş temel açı vardır: merkez açı, çevre açı, teğet-kiriş açısı, iç açı ve dış açı. Her birinin kuralını TYT'den biliyorsun. AYT sorularında aynı çemberde teğet, çap ve kesen birlikte bulunur ve açılar birbirine zincirle bağlanır. Bu alt başlıkta en sık karşılaşılan üç yapıyı ve yaylara harf verme yöntemini göreceksin.
Kuralların özeti ve yöntem
Merkez açı gördüğü yaya eşittir. Çevre açı ve teğet-kiriş açısı gördükleri yayın yarısıdır. İç açı, kolları ve kollarının uzantıları arasında kalan iki yayın toplamının yarısı; dış açı, kolları arasında kalan uzak yay ile yakın yayın farkının yarısıdır. Karmaşık bir soruda yaylara x, y gibi harfler ver, her açıyı bu harflerle yaz ve bütün yayların toplamını 360°'ye eşitle. Eş kirişlerin gördüğü yaylar eşittir; paralel iki kirişin arasında kalan iki yay da eşittir.
Teğet ve çap
[AB] çap, C çember üzerinde bir nokta olsun ve C'deki teğet AB doğrusunu B'nin ötesindeki T noktasında kessin. m(CAB) = x ise çapı gören açı 90° olduğundan m(CBA) = 90° − x olur. TCB açısı BC yayını gören teğet-kiriş açısıdır ve aynı yayı gören CAB çevre açısına eşittir: m(TCB) = x. CBA açısı, CBT üçgeninin dış açısı olduğundan 90° − x = x + m(CTB) yazılır ve m(CTB) = 90° − 2x bulunur.
Teğet ve kesen
Çemberin dışındaki P noktasından çizilen teğet çembere A noktasında değsin; P'den çizilen kesen çemberi önce B, sonra C noktasında kessin. PAB açısı AB yayını gören teğet-kiriş açısıdır ve aynı yayı gören ACB çevre açısına eşittir. Bu yüzden PAB ve PCA üçgenlerinde P açısı ortak, PAB ve PCA açıları eştir; üçgenler benzerdir. Benzerlikten |PA|/|PC| = |PB|/|PA|, yani |PA|² = |PB|·|PC| çıkar. Açı sorularında aynı eşitlik, PAC üçgeninin iç açıları toplamıyla birlikte kullanılır.
İki teğet
P noktasından çizilen iki teğet çembere A ve B noktalarında değsin; merkez O olsun. OAP ve OBP açıları 90° olduğundan PAOB dörtgeninde m(APB) + m(AOB) = 180° olur. Buna göre AB küçük yayı 180° − m(APB) ölçüsündedir. AB büyük yayı üzerindeki bir C noktası için m(ACB) = 90° − m(APB)/2, küçük yay üzerindeki bir C noktası için m(ACB) = 90° + m(APB)/2 bulunur. Soruda C noktasının hangi yay üzerinde olduğuna mutlaka bak.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. [AB] çaplı bir çemberin üzerindeki C noktasından çizilen teğet, AB doğrusunu B'nin ötesindeki T noktasında kesiyor. m(CTB) = 34° olduğuna göre m(CAB) kaç derecedir?
Çözüm. m(CAB) = x diyelim. Çapı gören açı 90° olduğundan m(CBA) = 90° − x olur. TCB teğet-kiriş açısı, aynı yayı gören CAB açısına eşittir: m(TCB) = x. CBT üçgeninde dış açı özelliğiyle 90° − x = x + 34° yazılır. Buradan 2x = 56° ve x = 28° bulunur.
Örnek 2. Çemberin dışındaki P noktasından çizilen iki teğet çembere A ve B noktalarında değiyor ve m(APB) = 64°'dir. C noktası AB küçük yayı üzerinde olduğuna göre m(ACB) kaç derecedir?
Çözüm. Merkez O ise m(AOB) = 180° − 64° = 116°'dir; AB küçük yayı 116°, büyük yayı 244° olur. C küçük yay üzerinde olduğundan ACB çevre açısı büyük yayı görür: m(ACB) = 244°/2 = 122°. C büyük yay üzerinde olsaydı açı 116°/2 = 58° olurdu.
Örnek 3. A, B, C ve D noktaları bir çember üzerinde bu sırayla yer alıyor. AB ve DC doğruları, B ve C'nin ötesinde, çemberin dışındaki P noktasında kesişiyor; [AC] ve [BD] kirişleri E noktasında kesişiyor. m(AED) = 100° ve m(APD) = 30° olduğuna göre AD ve BC yayları kaçar derecedir?
Çözüm. AED iç açısı AD ve BC yaylarını görür; bu iki yayın ölçüleri toplamı 2·100° = 200°'dir. APD dış açısının kolları arasında uzak yay AD, yakın yay BC yayıdır; bu iki yayın ölçüleri farkı 2·30° = 60°'dir. Toplamı 200°, farkı 60° olan iki ölçü 130° ve 70°'dir: AD yayı 130°, BC yayı 70° bulunur. Kalan AB ve CD yaylarının toplamı 160°'dir.
Sık yapılan hatalar
- Teğet-kiriş açısını gördüğü yaya eşit almak; bu açı yayın yarısıdır.
- Dış açıda uzak ve yakın yayı toplamak; dış açı farkın yarısıdır.
- İki teğet sorusunda C noktasının hangi yay üzerinde olduğuna bakmadan açıyı hesaplamak.
- Teğet ile çap sorusunda çapı gören açının 90° olduğunu kullanmamak.
- Teğet-kiriş açısı, aynı yayı gören çevre açıya eşittir.
- Teğet ve çap: m(CAB) = x ise m(CTB) = 90° − 2x olur.
- İki teğet: m(APB) + m(AOB) = 180°.
- Yaylara harf ver, toplamlarını 360°'ye eşitle.