Konu anlatımı
Bir noktadan bir çembere çizilen iki teğet parçasının eşit olması, çemberlerle üçgenlerin birlikte bulunduğu soruların temelidir. Bu alt başlıkta üçgenin iç teğet çemberindeki teğet parçalarını, iki teğetin arasına çizilen üçüncü teğeti ve üçgenin dış teğet çemberini göreceksin.
İç teğet çemberde teğet parçaları
ABC üçgeninin iç teğet çemberi [BC], [CA] ve [AB] kenarlarına D, E ve F noktalarında değsin; a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| ve çevrenin yarısı u olsun. Her köşeden çizilen iki teğet parçası eşittir: |AE| = |AF| = u − a, |BD| = |BF| = u − b ve |CD| = |CE| = u − c. Yarıçap r = A(ABC)/u ile bulunur. Merkez I ise AFI dik üçgeninde |AI|² = r² + (u − a)² yazılır. Hipotenüsü a olan dik üçgende r = u − a = (b + c − a)/2 olur.
Üçüncü teğet
P noktasından çizilen iki teğet çembere A ve B noktalarında değsin. AB küçük yayı üzerindeki bir C noktasından çizilen teğet [PA] doğru parçasını D'de, [PB] doğru parçasını E'de kessin. D'den çizilen iki teğet parçası eşit olduğundan |DC| = |DA|, aynı nedenle |EC| = |EB| olur. PDE üçgeninin çevresi |PD| + |DC| + |CE| + |EP| = |PD| + |DA| + |EB| + |EP| = |PA| + |PB| = 2·|PA| bulunur. Bu çevre, C noktasının yay üzerindeki yerine bağlı değildir.
Dış teğet çember
ABC üçgeninde [BC] kenarına ve AB ile AC kenarlarının B ve C'nin ötesindeki uzantılarına teğet olan çembere, A köşesinin karşısındaki dış teğet çember denir. Bu çember AB doğrusuna K, AC doğrusuna L ve [BC] kenarına M noktasında değsin. |AK| = |AL|, |BK| = |BM| ve |CL| = |CM| olduğundan |AK| + |AL| = |AB| + |BC| + |CA| olur; yani |AK| = u bulunur. Çemberin merkezi, A'daki iç açıortay ile B ve C'deki dış açıortayların kesişim noktasıdır.
Dış teğet çemberin yarıçapı
Dış teğet çemberin merkezi J, yarıçapı r₁ olsun. ABJ ve ACJ üçgenlerinin alanları toplamından BCJ üçgeninin alanı çıkarılırsa ABC üçgeninin alanı elde edilir: A(ABC) = r₁·(c + b − a)/2 = r₁·(u − a). Buna göre r₁ = A(ABC)/(u − a) olur. İç teğet çemberin yarıçapı A(ABC)/u olduğundan dış teğet çemberin yarıçapı her zaman daha büyüktür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABC üçgeninde |AB| = 17 cm, |AC| = 25 cm ve |BC| = 28 cm'dir. İç teğet çember [BC] kenarına D noktasında değiyor. |BD|, |DC| ve iç teğet çemberin yarıçapı kaçar santimetredir?
Çözüm. Çevrenin yarısı u = (17 + 25 + 28)/2 = 35 cm'dir. |BD| = u − |AC| = 35 − 25 = 10 cm ve |DC| = u − |AB| = 35 − 17 = 18 cm bulunur. Heron bağıntısıyla alan √(35·7·10·18) = √44100 = 210 cm²'dir. Yarıçap r = 210/35 = 6 cm olur.
Örnek 2. Çemberin dışındaki P noktasından çizilen iki teğet çembere A ve B noktalarında değiyor ve |PA| = 14 cm'dir. AB küçük yayı üzerindeki C noktasından çizilen teğet [PA] doğru parçasını D'de, [PB] doğru parçasını E'de kesiyor. |PD| = 8 cm olduğuna göre |DC| kaç santimetredir? PDE üçgeninin çevresi kaç santimetredir?
Çözüm. |DA| = |PA| − |PD| = 14 − 8 = 6 cm'dir. D noktasından çizilen iki teğet parçası eşit olduğundan |DC| = |DA| = 6 cm olur. PDE üçgeninin çevresi |PA| + |PB| = 2·14 = 28 cm'dir; bu sonuç C noktasının yerine bağlı değildir.
Örnek 3. ABC üçgeninde |BC| = 10 cm, |CA| = 17 cm ve |AB| = 21 cm'dir. [BC] kenarına ve öbür iki kenarın uzantılarına teğet olan dış teğet çember AB doğrusuna K noktasında değiyor. |AK| ve bu çemberin yarıçapı kaçar santimetredir?
Çözüm. Çevrenin yarısı u = (10 + 17 + 21)/2 = 24 cm'dir; A köşesinden dış teğet çembere çizilen teğet parçası u olduğundan |AK| = 24 cm'dir. Heron bağıntısıyla alan √(24·14·7·3) = √7056 = 84 cm² bulunur. Dış teğet çemberin yarıçapı A(ABC)/(u − |BC|) = 84/(24 − 10) = 6 cm olur. K noktası B'nin 3 cm ötesindedir.
Sık yapılan hatalar
- Teğet parçalarını yanlış kenarla eşleştirmek; A'dan çizilen parça, çevrenin yarısından karşı kenar a çıkarılarak bulunur.
- Üçüncü teğet sorusunda PDE üçgeninin çevresini |PA| sanmak; çevre 2·|PA| olur.
- Dış teğet çemberde A'dan çizilen teğet parçasını u − a almak; bu parça u uzunluğundadır.
- İç ve dış teğet çemberin yarıçap bağıntılarını karıştırmak; iç teğet için alan u ile, dış teğet için u − a ile bölünür.
- İç teğet çember: A'dan çizilen teğet parçası u − a, yarıçap A(ABC)/u.
- İki teğetin arasına çizilen üçüncü teğetle oluşan üçgenin çevresi 2·|PA| olur.
- Dış teğet çember: A'dan çizilen teğet parçası u, yarıçap A(ABC)/(u − a).