Konu anlatımı
Kirişin merkeze uzaklığı ile uzunluğu arasındaki r² = d² + (c/2)² bağıntısını TYT'den biliyorsun. AYT'de iki kiriş birlikte verilir: ya birbirine diktir ya da paraleldir. Bu alt başlıkta dik kesişen kirişlerde yarıçapı veren bağıntıyı, oluşan dörtgenin alanını ve paralel kirişlerde denklem kurmayı göreceksin.
Dik kesişen kirişlerde 4r²
[AB] ve [CD] kirişleri E noktasında dik kesişsin. Merkez O'dan bu kirişlere inen dikmelerin ayakları M ve N olsun; M ve N kirişlerin orta noktalarıdır ve OMEN bir dikdörtgendir. |AE|² + |EB|² = 2·|AM|² + 2·|ME|² ve |CE|² + |ED|² = 2·|CN|² + 2·|NE|² yazılır. |AM|² = r² − |OM|², |CN|² = r² − |ON|², |ME| = |ON| ve |NE| = |OM| olduğundan toplam 4r² eder: |AE|² + |EB|² + |CE|² + |ED|² = 4r².
Yaylar ve dörtgen
E'deki iç açı 90° olduğundan karşılıklı yayların toplamı 180° olur: AC ve BD yaylarının toplamı 180°, AD ve BC yaylarının toplamı da 180°'dir. Bu yüzden |AC|² + |BD|² = 4r² ve |AD|² + |BC|² = 4r² bağıntıları da geçerlidir. Köşeleri A, C, B ve D olan dörtgenin köşegenleri [AB] ve [CD] kirişleridir ve birbirine diktir; alanı |AB|·|CD|/2 olur.
Paralel kirişler
Paralel iki kirişe merkezden inen dikmeler aynı doğru üzerindedir. Kirişlerin uzunlukları c₁ ve c₂, merkeze uzaklıkları d₁ ve d₂ ise r² = d₁² + (c₁/2)² = d₂² + (c₂/2)² olur. Kirişler merkezin farklı taraflarındaysa aralarındaki uzaklık d₁ + d₂, aynı tarafındaysa uzaklıkların farkıdır. Yarıçap bilinmiyorsa uzaklıklardan birine x deyip iki eşitliği birbirine eşitlersin; x² terimleri sadeleşir ve birinci dereceden bir denklem kalır. Uzunlukları 14 ve 48 olan, merkezin aynı tarafındaki paralel kirişlerin arası 17 ise yarıçap 25 birimdir; çünkü kirişlerin merkeze uzaklıkları 24 ve 7 olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir çemberde [AB] ve [CD] kirişleri E noktasında dik kesişiyor. |AE| = 1 cm, |EB| = 15 cm ve |CE| = 3 cm'dir. |ED| ve çemberin yarıçapı kaçar santimetredir? Köşeleri A, C, B ve D olan dörtgenin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. |AE|·|EB| = |CE|·|ED| olduğundan 15 = 3·|ED| ve |ED| = 5 cm'dir. 4r² = 1 + 225 + 9 + 25 = 260, yani r² = 65 ve r = √65 cm bulunur. Köşegenleri dik olan dörtgenin alanı |AB|·|CD|/2 = 16·8/2 = 64 cm²'dir. Kontrol: 16 cm'lik kirişin merkeze uzaklığı √(65 − 64) = 1 cm, 8 cm'lik kirişin merkeze uzaklığı √(65 − 16) = 7 cm'dir.
Örnek 2. Bir çemberde birbirine paralel iki kirişin uzunlukları 30 cm ve 16 cm'dir. Kirişler merkezin farklı taraflarındadır ve aralarındaki uzaklık 23 cm'dir. Çemberin yarıçapı kaç santimetredir?
Çözüm. 30 cm'lik kirişin merkeze uzaklığına x dersek öbür kirişin uzaklığı 23 − x olur. r² = x² + 15² = (23 − x)² + 8² yazılır. Açınca x² + 225 = 593 − 46x + x², yani 46x = 368 ve x = 8 bulunur. r² = 64 + 225 = 289 ve r = 17 cm'dir. Öbür kirişin merkeze uzaklığı 15 cm'dir: 15² + 8² = 289.
Örnek 3. Yarıçapı 25 cm olan bir çemberde birbirine paralel iki kirişin uzunlukları 40 cm ve 48 cm'dir. Bu iki kiriş arasındaki uzaklık kaç santimetre olabilir?
Çözüm. 40 cm'lik kirişin merkeze uzaklığı √(625 − 400) = 15 cm, 48 cm'lik kirişin merkeze uzaklığı √(625 − 576) = 7 cm'dir. Kirişler merkezin aynı tarafındaysa aralarındaki uzaklık 15 − 7 = 8 cm, farklı taraflarındaysa 15 + 7 = 22 cm olur. Soruda konum belirtilmediği için iki değer de geçerlidir.
Sık yapılan hatalar
- 4r² bağıntısını dik kesişmeyen kirişlerde kullanmak.
- Bağıntıda dört parçanın kareleri yerine iki kirişin karelerini toplamak.
- Paralel kirişlerde merkezin kirişlere göre konumuna bakmamak; aynı tarafta fark, farklı tarafta toplam alınır.
- Pisagor teoremine kirişin yarısı yerine tamamını koymak.
- Dik kesişen kirişlerde |AE|² + |EB|² + |CE|² + |ED|² = 4r².
- Aynı durumda |AC|² + |BD|² = 4r² ve dörtgenin alanı |AB|·|CD|/2 olur.
- Paralel kirişlerde uzaklıklardan birine x de, r² için iki eşitlik yaz.