Konu anlatımı
Bir noktadan bir çembere çizilen kesenler ve teğetler arasında sabit bir çarpım vardır; bu çarpıma noktanın çembere göre kuvveti denir. Kuvvet bağıntıları, açı bilgisi olmadan uzunluk bulmanı sağlar. Bu alt başlıkta noktanın çemberin içinde ve dışında olduğu durumları, teğet-kesen bağıntısını ve kuvvetin merkeze uzaklıkla ilişkisini göreceksin.
İç nokta: kesişen kirişler
P noktası çemberin içinde olsun ve P'den geçen iki kiriş [AB] ile [CD] olsun. PAC ve PDB üçgenlerinde P'deki açılar ters açıdır; A ve D'deki açılar ise aynı BC yayını gören çevre açılardır. Üçgenler benzer olduğundan |PA|/|PD| = |PC|/|PB|, yani |PA|·|PB| = |PC|·|PD| bulunur. P'den geçen çap düşünülürse bu çarpımın (r − d)·(r + d) = r² − d² olduğu görülür; burada d, P'nin merkeze uzaklığıdır.
Dış nokta: iki kesen
P noktası çemberin dışında olsun. P'den çizilen bir kesen çemberi A ve B, başka bir kesen C ve D noktalarında kessin; A ile C, P'ye yakın olan noktalar olsun. PAC ve PDB üçgenlerinde P açısı ortaktır; ABDC kirişler dörtgeninde PAC dış açısı, karşı köşedeki BDC iç açısına eşittir. Üçgenler benzer olduğundan |PA|·|PB| = |PC|·|PD| olur. Çarpım her zaman P'den ölçülen uzunluklarla kurulur: |PB| = |PA| + |AB|.
Teğet ve kesen
P'den çizilen teğet çembere T noktasında değiyorsa, kesenlerden biri teğete dönüşmüş gibi düşünülebilir: |PT|² = |PA|·|PB|. Bu çarpım d² − r² değerine eşittir; çünkü OTP dik üçgeninde |PT|² = d² − r² olur. Merkezden geçen kesen için de aynı sonuç çıkar: (d − r)·(d + r) = d² − r². Noktanın merkeze uzaklığı 13, yarıçap 5 ise kuvvet 169 − 25 = 144, teğet parçası 12 birimdir.
Kuvvet ve kirişin merkeze uzaklığı
Kuvvet bağıntısı bir kesenin çember içinde kalan [AB] kirişini verir; merkezden bu kirişe inen dikme kirişi ortaladığı için yarıçap r² = |OH|² + (|AB|/2)² ile bulunur. Tersine, yarıçap ve noktanın merkeze uzaklığı biliniyorsa kuvvet doğrudan r² − d² ya da d² − r² ile yazılır ve kesenlerin hiçbir açısı gerekmez. İç noktadan geçen en kısa kiriş, noktayı merkeze birleştiren doğru parçasına dik olandır; bu kirişin yarısının karesi de r² − d² olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yarıçapı 9 cm olan O merkezli çemberin içindeki P noktası için |OP| = 7 cm'dir. P'den geçen bir [AB] kirişinde |PA| = 4 cm olduğuna göre |AB| kaç santimetredir?
Çözüm. İç nokta için |PA|·|PB| = r² − d² = 81 − 49 = 32 olur. 4·|PB| = 32 eşitliğinden |PB| = 8 cm bulunur. Kirişin uzunluğu |AB| = 4 + 8 = 12 cm'dir.
Örnek 2. Çemberin dışındaki P noktasından çizilen iki kesenden biri çemberi önce A, sonra B noktasında; öbürü önce C, sonra D noktasında kesiyor. |PA| = 6 cm, |AB| = 10 cm ve |PC| = 8 cm olduğuna göre |CD| kaç santimetredir?
Çözüm. |PB| = 6 + 10 = 16 cm'dir. Kuvvet bağıntısına göre |PA|·|PB| = |PC|·|PD| olduğundan 6·16 = 8·|PD| ve |PD| = 12 cm bulunur. |CD| = |PD| − |PC| = 12 − 8 = 4 cm'dir.
Örnek 3. O merkezli çembere dışındaki P noktasından çizilen teğet T noktasında değiyor ve |PT| = 15 cm'dir. P'den çizilen bir kesen çemberi önce A, sonra B noktasında kesiyor; |PA| = 9 cm'dir. O'nun bu kesene uzaklığı 6 cm olduğuna göre çemberin yarıçapı kaç santimetredir?
Çözüm. |PT|² = |PA|·|PB| bağıntısından 225 = 9·|PB| ve |PB| = 25 cm bulunur; |AB| = 25 − 9 = 16 cm'dir. Merkezden kirişe inen dikme kirişi ortaladığı için kirişin yarısı 8 cm'dir. r² = 6² + 8² = 100 ve r = 10 cm olur. Kontrol: |PO|² = |PT|² + r² = 325 olur; dikme ayağı üzerinden de 6² + 17² = 325 çıkar.
Sık yapılan hatalar
- Dış noktada |PA|·|AB| yazmak; çarpanlar P'den ölçülür: |PA|·|PB|.
- Teğet-kesen bağıntısında |PT| = |PA|·|PB| yazıp kareyi unutmak.
- İç ve dış nokta için kuvvetin yazımını karıştırmak; içte r² − d², dışta d² − r² alınır.
- Kesenin çember içinde kalan parçasını kirişin yarısı sanmak.
- İç nokta: |PA|·|PB| = |PC|·|PD| = r² − d².
- Dış nokta: |PA|·|PB| = |PC|·|PD| = |PT|² = d² − r².
- Çarpanlar her zaman P noktasından ölçülür.
- Kuvvetle kirişi bul, merkeze uzaklıkla yarıçapa geç.