Konu anlatımı
Yay uzunluğunu, daire diliminin ve küçük daire parçasının alanını TYT'den biliyorsun. AYT'de merkez açı çoğu zaman doğrudan verilmez; kiriş uzunluğundan ya da iki çemberin konumundan bulunur. Bu alt başlıkta kirişten merkez açıya geçmeyi, küçük ve büyük daire parçasını, karedeki çeyrek dairelerin ve kesişen iki dairenin ortak bölgesini göreceksin.
Dilim ve parça
Yarıçapı r, merkez açısı α olan dilimin alanı πr²·α/360°, yayının uzunluğu 2πr·α/360° olur; alan, yay uzunluğu ile yarıçapın çarpımının yarısına eşittir. Yarıçapı 9 ve merkez açısı 40° olan dilimde yay 2π birim, alan 9π birimkaredir. Kiriş ile küçük yay arasındaki daire parçasının alanı, dilimden merkez ile kirişin oluşturduğu üçgen çıkarılarak bulunur: πr²·α/360° − ½·r²·sin α. Kiriş ile büyük yay arasındaki parça ise dairenin alanından küçük parça çıkarılarak hesaplanır.
Kirişten merkez açıya
Kirişin uçlarını merkeze birleştiren üçgen ikizkenardır; kirişin uzunluğu merkez açıyı belirler. Kiriş r uzunluğundaysa üçgen eşkenardır ve merkez açı 60° olur. Kiriş r√2 ise üçgen ikizkenar dik üçgendir ve merkez açı 90° olur. Kiriş r√3 ise merkez açı 120° olur; bu durumda kirişin merkeze uzaklığı r/2 kadardır. Öbür durumlarda merkez açının yarısının sinüsü, kirişin yarısının yarıçapa oranıdır.
Karede çeyrek daireler
Kenarı a olan karede bir köşeyi merkez alan ve yarıçapı a olan çeyrek dairenin alanı πa²/4 olur; karenin bu çeyrek dairenin dışında kalan kısmı a² − πa²/4 kadardır. Karşılıklı iki köşeyi merkez alan iki çeyrek daire, öbür iki köşeden geçen köşegenin iki yanında birer daire parçası oluşturur. Bu yaprak biçimli ortak bölgenin alanı 2·(πa²/4 − a²/2) = a²·(π/2 − 1) olur.
Kesişen iki dairenin ortak bölgesi
İki çember iki noktada kesişiyorsa ortak kiriş, merkezleri birleştiren doğruya diktir ve bu doğru tarafından ortalanır. Ortak bölge, ortak kirişin iki yanındaki iki daire parçasının toplamıdır; her parça kendi çemberinin merkez açısıyla hesaplanır. Yarıçapları r olan iki çemberden her biri öbürünün merkezinden geçiyorsa merkezler ve kesişim noktaları iki eşkenar üçgen oluşturur; her çemberde ortak kirişi gören merkez açı 120° olur ve ortak bölgenin alanı r²·(2π/3 − √3/2) bulunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yarıçapı 6 cm olan bir çemberde uzunluğu 6√2 cm olan [AB] kirişi çiziliyor. Kirişin ayırdığı küçük ve büyük daire parçalarının alanları kaçar cm²'dir?
Çözüm. Kiriş r√2 uzunluğunda olduğundan merkez açı 90°'dir. Dilimin alanı π·36/4 = 9π cm², merkez ile kirişin oluşturduğu dik üçgenin alanı 6·6/2 = 18 cm²'dir. Küçük daire parçası 9π − 18 cm² olur. Büyük daire parçası dairenin alanından küçük parça çıkarılarak bulunur: 36π − (9π − 18) = 27π + 18 cm².
Örnek 2. Kenar uzunluğu 8 cm olan ABCD karesinde A merkezli ve C merkezli, yarıçapı 8 cm olan iki çeyrek daire çiziliyor; ikisinin de yayı B ve D köşelerinden geçiyor. İki çeyrek dairenin ortak bölgesinin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. Ortak bölge [BD] köşegeninin iki yanındaki iki eş daire parçasından oluşur. Bir parçanın alanı, çeyrek dairenin alanından ABD dik üçgeninin alanı çıkarılarak bulunur: π·64/4 − 8·8/2 = 16π − 32 cm². Ortak bölgenin alanı 2·(16π − 32) = 32π − 64 cm²'dir.
Örnek 3. Yarıçapları 4 cm olan iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık 4√2 cm'dir. Bu iki dairenin ortak bölgesinin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. Merkezler O₁ ve O₂, kesişim noktaları A ve B olsun. O₁AO₂ üçgeninin kenarları 4 cm, 4 cm ve 4√2 cm olduğundan bu üçgen A'da dik açılıdır; aynı şey B için de geçerlidir. O₁AO₂B bir karedir ve her çemberde [AB] ortak kirişini gören merkez açı 90°'dir. Bir daire parçasının alanı π·16/4 − 4·4/2 = 4π − 8 cm²'dir. Ortak bölgenin alanı 2·(4π − 8) = 8π − 16 cm² olur.
Sık yapılan hatalar
- Daire parçasının alanında üçgeni çıkarmayı unutup dilimin alanını yazmak.
- Büyük daire parçasını dilimden üçgen çıkararak bulmaya çalışmak; büyük parça, dairenin alanından küçük parça çıkarılarak bulunur.
- Kirişin uzunluğundan merkez açıya geçerken r√2 ile r√3 durumlarını karıştırmak.
- Ortak bölgeyi tek bir daire parçası gibi hesaplamak; ortak bölge iki daire parçasının toplamıdır.
- Daire parçası = dilim − üçgen: πr²·α/360° − ½·r²·sin α.
- Kiriş r ise merkez açı 60°, r√2 ise 90°, r√3 ise 120° olur.
- Karede iki çeyrek dairenin ortak bölgesi a²·(π/2 − 1) olur.
- Kesişen iki dairenin ortak bölgesi, ortak kirişin iki yanındaki daire parçalarının toplamıdır.