Konu anlatımı
Dört köşesi de aynı çember üzerinde olan dörtgene kirişler dörtgeni denir. Köşeleri çember üzerinde olduğu için bütün açıları birer çevre açıdır; bu da dörtgene güçlü açı özellikleri kazandırır. Bu alt başlıkta karşılıklı açıları, dış açıyı, köşegenlerle oluşan eş açıları, hangi özel dörtgenlerin bir çembere içten çizilebildiğini ve kosinüs teoremiyle uzunluk bulmayı göreceksin.
Karşılıklı açılar ve dış açı
ABCD kirişler dörtgeninde A açısı BCD yayını, C açısı BAD yayını görür. Bu iki yay birlikte bütün çemberi oluşturduğundan m(A) + m(C) = 360°/2 = 180° olur; aynı nedenle m(B) + m(D) = 180°'dir. Tersi de doğrudur: karşılıklı iki açısının toplamı 180° olan dörtgen bir kirişler dörtgenidir. Bir köşedeki dış açı o köşedeki iç açının bütünleri olduğundan, karşı köşedeki iç açıya eşittir.
Köşegenler ve eş açılar
Köşegenler çizilince aynı yayı gören çevre açılar ortaya çıkar: m(BAC) = m(BDC), m(ABD) = m(ACD), m(CAD) = m(CBD) ve m(ADB) = m(ACB). Köşegenler E noktasında kesişiyorsa AEB ile DEC üçgenleri ve AED ile BEC üçgenleri benzerdir; buradan |AE|·|EC| = |BE|·|ED| bulunur. Köşegenlerden biri çap ise bu köşegeni gören iki açı 90°'dir ve dörtgen iki dik üçgene ayrılır.
Hangi dörtgenler kirişler dörtgenidir?
Dikdörtgen ve kare her zaman bir çembere içten çizilebilir; çemberin çapı köşegendir. İkizkenar yamuk da her zaman kirişler dörtgenidir; çünkü bir yan kenara komşu açıları bütünler, taban açıları eş olduğundan karşılıklı açıları da bütünlerdir. Paralelkenarda karşılıklı açılar eş olduğundan toplamları ancak açılar 90° iken 180° olur; bir çembere içten çizilebilen paralelkenar yalnızca dikdörtgendir. Aynı nedenle bir çembere içten çizilebilen eşkenar dörtgen yalnızca karedir. Paralelkenar olmayan bir yamuk bir çembere içten çizilebiliyorsa ikizkenardır.
Kosinüs teoremiyle uzunluk
Karşılıklı açılar bütünler olduğundan kosinüsleri ters işaretli, sinüsleri eşittir: cos C = −cos A ve sin C = sin A. [BD] köşegeni ABD ve CBD üçgenlerinde iki kez yazılır: |BD|² = |AB|² + |AD|² − 2·|AB|·|AD|·cos A ve |BD|² = |CB|² + |CD|² + 2·|CB|·|CD|·cos A. Bir açı ya da köşegen bilinince eksik kenar bu iki eşitlikten bulunur. Alan da iki üçgenin alanları toplamıdır: ½·(|AB|·|AD| + |CB|·|CD|)·sin A.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ABCD kirişler dörtgeninde köşegenler çizilmiştir. m(BAD) = 70° ve m(ABD) = 45° olduğuna göre m(ACB) ve m(BCD) kaçar derecedir?
Çözüm. ABD üçgeninde m(ADB) = 180° − 70° − 45° = 65°'dir. ACB ve ADB açıları aynı AB yayını gören çevre açılar olduğundan m(ACB) = 65° olur. Karşılıklı açılar bütünler olduğundan m(BCD) = 180° − 70° = 110° bulunur. Kontrol: m(ACD) = m(ABD) = 45° ve 65° + 45° = 110°.
Örnek 2. ABCD kirişler dörtgeninde |AB| = 3 cm, |AD| = 8 cm, |BC| = 5 cm ve m(BAD) = 60°'dir. |BD| ve |CD| kaçar santimetredir?
Çözüm. ABD üçgeninde |BD|² = 9 + 64 − 2·3·8·cos 60° = 73 − 24 = 49 ve |BD| = 7 cm'dir. Karşılıklı açılar bütünler olduğundan m(BCD) = 120°'dir. BCD üçgeninde |CD| = x dersek 49 = 25 + x² − 2·5·x·cos 120° = 25 + x² + 5x olur. x² + 5x − 24 = 0 denkleminin pozitif kökü 3 olduğundan |CD| = 3 cm bulunur.
Örnek 3. Bir çembere içten çizilmiş ABCD dörtgeninde [AC] köşegeni çaptır. |AB| = 7 cm, |BC| = 24 cm ve |AD| = 15 cm olduğuna göre |CD| kaç santimetredir? Dörtgenin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm. Çapı gören çevre açılar 90° olduğundan B ve D açıları diktir. ABC dik üçgeninde |AC| = √(49 + 576) = 25 cm'dir. ADC dik üçgeninde |CD| = √(625 − 225) = 20 cm bulunur. Alan iki dik üçgenin alanları toplamıdır: 7·24/2 + 15·20/2 = 84 + 150 = 234 cm².
Sık yapılan hatalar
- Komşu açıların toplamını 180° almak; bütünler olanlar karşılıklı açılardır.
- Her dörtgeni kirişler dörtgeni saymak; dört köşenin de aynı çember üzerinde olması gerekir.
- Aynı yayı gören açıları yanlış eşleştirmek; eş olan açılar aynı kirişe aynı taraftan bakan çevre açılardır.
- Kosinüs teoreminde karşı açının kosinüsünün işaretini değiştirmeyi unutmak.
- m(A) + m(C) = m(B) + m(D) = 180°.
- Dış açı, karşı köşedeki iç açıya eşittir.
- Aynı yayı gören çevre açılar eştir: m(BAC) = m(BDC).
- cos C = −cos A ve sin C = sin A.