Konu anlatımı
Paralel iki doğru arasındaki uzaklık, birinin üzerindeki herhangi bir noktanın öbürüne uzaklığıdır ve doğrular boyunca değişmez. Bu sabit uzaklık; kare, eşkenar üçgen, yamuk ve çember içeren analitik geometri sorularının ortak anahtarıdır. Bu alt başlıkta bağıntıyı, verilen uzaklıktaki paralelleri, orta paraleli ve geometrik uygulamaları göreceksin.
Bağıntı
Doğrular ax + by + c₁ = 0 ve ax + by + c₂ = 0 biçiminde, yani x ve y'nin katsayıları aynı olacak biçimde yazılırsa aralarındaki uzaklık |c₁ − c₂|/√(a² + b²) olur. Katsayılar aynı değilse önce denklemlerden biri uygun sayıyla çarpılır ya da bölünür. 3x + 4y − 5 = 0 ile 6x + 8y + 15 = 0 doğrularında birinci denklem 2 ile çarpılır: 6x + 8y − 10 = 0. Uzaklık |−10 − 15|/√(36 + 64) = 25/10 = 2,5 birimdir.
Verilen uzaklıktaki paraleller ve orta paralel
ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı d olan paralel doğrular ax + by + k = 0 biçimindedir ve |k − c| = d·√(a² + b²) koşulunu sağlar; doğrunun iki yanında birer tane olmak üzere iki doğru vardır. Paralel iki doğruya eşit uzaklıktaki noktalar ise bu doğruların tam ortasındaki paralel doğruyu oluşturur: ax + by + (c₁ + c₂)/2 = 0.
Geometrik uygulamalar
Karşılıklı iki kenarı paralel iki doğru üzerinde olan karenin kenar uzunluğu, doğrular arasındaki uzaklıktır. Bir kenarı bu doğrulardan birinde, karşı köşesi öbüründe olan eşkenar üçgenin yüksekliği bu uzaklığa eşittir; kenarı, uzaklığın 2/√3 katıdır. İki doğruya da teğet olan çemberin çapı bu uzaklıktır ve merkezi orta paralel üzerindedir. Paralel kenarları bu doğrular üzerinde olan bir yamuğun ya da paralelkenarın yüksekliği de aynı uzaklıktır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 5x − 12y + 8 = 0 ve 10x − 24y − 36 = 0 doğruları veriliyor. Bir eşkenar üçgenin bir kenarı bu doğrulardan birinin, karşı köşesi öbürünün üzerindedir. Üçgenin bir kenarı kaç birimdir ve alanı kaç birimkaredir?
Çözüm. İkinci denklem 2'ye bölünür: 5x − 12y − 18 = 0. Doğrular arasındaki uzaklık |8 − (−18)|/√(25 + 144) = 26/13 = 2 birimdir; bu, eşkenar üçgenin yüksekliğidir. Kenarı a olan eşkenar üçgende yükseklik a√3/2 olduğundan a√3/2 = 2 ve a = 4/√3 = 4√3/3 birim bulunur. Alan kenar ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır: (4√3/3)·2/2 = 4√3/3 birimkare.
Örnek 2. x − 2y + 3 = 0 doğrusuna paralel olan ve bu doğruya uzaklığı √5 birim olan doğruların denklemlerini bulunuz.
Çözüm. Aranan doğrular x − 2y + k = 0 biçimindedir. |k − 3|/√(1 + 4) = √5 olduğundan |k − 3| = 5 yazılır; k = 8 ya da k = −2 bulunur. Doğrular x − 2y + 8 = 0 ve x − 2y − 2 = 0 olur.
Örnek 3. Merkezi y ekseni üzerinde olan bir çember x − y + 1 = 0 ve x − y − 7 = 0 doğrularının ikisine de teğettir. Çemberin merkezi, yarıçapı ve sınırladığı dairenin alanı nedir?
Çözüm. Doğrular arasındaki uzaklık |1 − (−7)|/√2 = 8/√2 = 4√2 birimdir; bu uzaklık çaptır ve yarıçap 2√2 birim olur. Merkez iki doğrunun ortasındaki x − y − 3 = 0 doğrusu üzerindedir; y ekseni üzerinde x = 0 olduğundan y = −3 bulunur. Merkez (0, −3) noktasıdır. Dairenin alanı π·(2√2)² = 8π birimkaredir.
Sık yapılan hatalar
- Katsayıları eşitlemeden |c₁ − c₂| hesaplamak.
- Katsayıları eşitlerken sabit terimi çarpmayı ya da bölmeyi unutmak.
- Verilen uzaklıktaki paralel doğrulardan yalnız birini yazmak.
- İki paralel doğruya teğet çemberde uzaklığı yarıçap sanmak; uzaklık çapa eşittir.
- Uzaklık |c₁ − c₂|/√(a² + b²); önce katsayıları eşitle.
- Uzaklığı d olan paraleller için |k − c| = d·√(a² + b²).
- Orta paralel: ax + by + (c₁ + c₂)/2 = 0.
- Kare için kenar, eşkenar üçgen için yükseklik, çember için çap bu uzaklıktır.