Konu anlatımı
Bir doğru parçasının orta noktasından geçen ve ona dik olan doğruya orta dikme denir. Orta dikme üzerindeki her nokta doğru parçasının iki ucuna eşit uzaklıktadır; iki uca eşit uzaklıktaki her nokta da orta dikme üzerindedir. Bu alt başlıkta orta dikmenin denklemini iki yoldan yazmayı ve bu doğrunun üçgen sorularındaki kullanımını göreceksin.
Denklemi yazmanın iki yolu
Birinci yol: [AB] doğru parçasının orta noktası ve AB doğrusunun eğimi bulunur; orta dikme, orta noktadan geçen ve eğimi bu eğimin ters işaretli tersi olan doğrudur. İkinci yol: orta dikme üzerindeki P(x, y) noktası için |PA|² = |PB|² yazılır. Kareler açılınca x² ve y² terimleri sadeleşir ve birinci dereceden bir denklem kalır. AB doğrusu eksenlerden birine paralelse ikinci yol daha güvenlidir; çünkü eğimle uğraşmak gerekmez.
İkizkenar üçgen ve alan
Orta dikme üzerindeki bir P noktası için |PA| = |PB| olduğundan APB üçgeni ikizkenardır. P'nin [AB] kenarına ait yüksekliği, P ile [AB] doğru parçasının orta noktası M arasındaki uzaklıktır; alan |AB|·|PM|/2 olur. Sorularda P çoğu zaman orta dikmenin bir ekseni ya da başka bir doğruyu kestiği noktadır.
Çevrel çemberin merkezi
Bir üçgenin üç köşesine eşit uzaklıktaki nokta, kenarların orta dikmelerinin kesişim noktasıdır ve çevrel çemberin merkezidir. Merkezi bulmak için iki kenarın orta dikmesi yeterlidir; üçüncüsü aynı noktadan geçer. Merkezin köşelerden birine uzaklığı çevrel çemberin yarıçapıdır. Dik üçgende bu merkez hipotenüsün orta noktasıdır; bu durumda orta dikme yazmaya gerek kalmaz.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A(−3, 2) ve B(5, 6) noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu doğru y eksenini P noktasında kesiyor. P noktasının koordinatları nedir? APB üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
Çözüm. [AB] doğru parçasının orta noktası M(1, 4), AB doğrusunun eğimi (6 − 2)/(5 + 3) = 1/2 olur. Orta dikmenin eğimi −2 olduğundan denklemi y − 4 = −2·(x − 1), yani y = −2x + 6 biçimindedir. x = 0 için y = 6 bulunur; P(0, 6) noktasıdır. |AB| = √(64 + 16) = 4√5 ve |PM| = √(1 + 4) = √5 olduğundan alan 4√5·√5/2 = 10 birimkaredir. Kontrol: |PA| = |PB| = 5.
Örnek 2. Köşeleri A(1, 7), B(8, 6) ve C(7, −1) olan üçgenin çevrel çemberinin merkezi ve yarıçapı nedir?
Çözüm. Merkez P(x, y) olsun. |PA|² = |PB|² eşitliği (x − 1)² + (y − 7)² = (x − 8)² + (y − 6)² biçimindedir; açılıp sadeleştirilince 7x − y = 25 bulunur. |PB|² = |PC|² eşitliği (x − 8)² + (y − 6)² = (x − 7)² + (y + 1)² biçimindedir; sadeleşince x + 7y = 25 kalır. İki denklemin ortak çözümü x = 4 ve y = 3 olur. Merkez (4, 3), yarıçap |PA| = √(9 + 16) = 5 birimdir.
Örnek 3. A(2, −1) ve B(6, 3) noktalarına eşit uzaklıkta olan ve 2x − y = 1 doğrusu üzerinde bulunan noktanın koordinatları nedir?
Çözüm. [AB] doğru parçasının orta noktası (4, 1), AB doğrusunun eğimi (3 + 1)/(6 − 2) = 1 olur. Orta dikmenin eğimi −1 olduğundan denklemi y − 1 = −(x − 4), yani x + y = 5 biçimindedir. Bu doğru ile 2x − y = 1 doğrusunun kesişimi için denklemler toplanır: 3x = 6, x = 2 ve y = 3. Aranan nokta (2, 3) noktasıdır; iki uca uzaklığı 4 birimdir.
Sık yapılan hatalar
- Orta dikmeyi orta noktadan geçirmek yerine uçlardan birinden geçirmek.
- Orta dikmenin eğimini AB doğrusunun eğimiyle aynı almak; doğrusu ters işaretli tersidir.
- |PA|² = |PB|² eşitliğinde kareleri açarken işaret hatası yapmak; x² ve y² terimleri mutlaka sadeleşmelidir.
- Çevrel çemberin merkezini ağırlık merkeziyle karıştırıp köşelerin ortalamasını almak.
- Orta dikme orta noktadan geçer ve AB doğrusuna diktir.
- Kısa yol: |PA|² = |PB|² yaz ve sadeleştir.
- Orta dikme üzerindeki nokta ile uçlar ikizkenar üçgen oluşturur.
- İki orta dikmenin kesişimi çevrel çemberin merkezidir.